成对数据的统计相关性
1 相关关系与确定关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
比如 正方形面积与边长，高一定时圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系；体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系.
2 正相关与负相关
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；从散点图来看，点从左下角往右上角走.
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走.
比如脂肪含量与年龄 , 子女的身高与父亲的身高正相关.
3 线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
4 样本相关系数
对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，则
我们称为变量和变量的样本相关系数.
① 当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关.
② 越接近于，两个变量的线性相关性越强；
接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.
③ 样本相关系数也可以推导得到
【题型一】 相关关系与确定关系
【典题1】下面哪两个变量间是相关关系( )
A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格
C．身高与体重 D．铁块的大小与质量
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，出租车费与行驶的里程之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；
对于，房屋面积与房屋价格之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；
对于，身高与体重之间的关系是不确定，但在一定范围内，身高越高，体重越大，是相关关系，符合题意；
对于，铁块的大小与质量之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；
故选：．
【点拨】是确定关系还是相关关系，看两变量之间关系是否确定的.
【题型二】正相关与负相关
【典题1】有以下五组变量：
①某商品的销售价格与销售量；
②学生的学籍号与学生的数学成绩；
③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
④气温与冷饮销售量；
⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．
其中两个变量成正相关的是( )
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
【解析】对于①，一般情况下，某商品的销售价格与销售量成负相关关系；
对于②，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；
对于③，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；
对于④，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；
对于⑤，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
综上所述，其中两个变量成正相关的序号是④⑤．
故选：D．
【点拨】如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关.
【典题2】在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是( )
A． B．
C． D．
【解析】根据题意，依次分析选项为：
对于A、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；
对于B、是相关关系，也是正相关关系，符合题意；
对于C、是相关关系，是负相关关系，不符合题意；
对于D、所示的散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．
故选：B．
【点拨】从散点图来看，点从左下角往右上角走是正相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走是负相关.
【题型三】成对数据的统计相关系数
【典题1】对某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
【解析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；由题中数据可知：(1)(3)为正相关，为负相关；
数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，
故；
又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故，
因此，．
故选：．
【点拨】
① 若散点图中数据集中所在的直线斜率为正，则正相关；斜率为负，则负相关.
② 数据越集中在一条线附近，说明相关性越强；与该直线的斜率大小无关.
【典题2】如图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数变大 B．残差平方和变大
C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变强
【解析】由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，
所以相关系数的值变大，相关指数的值变大，残差平方和变小．
故选：．
【点拨】
① 相关系数判断线性的相关性的强弱；而残差平方和与相关指数判断的是模型的拟合效果，残差平方和越小，相关指数越大，模型拟合效果越好；
② 本题中点属于“歧义点”，偏离回归直线较远，若剔除少数的“歧义点”，解释变量与预报变量的相关性变强.
巩固练习
1(★)下列两个量之间的关系是相关关系的为( )
A．正方体的体积与棱长的关系
B．学生的成绩和体重
C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少
D．水的体积和重量
【答案】C
【解析】A、由正方体的棱长和体积的公式知，V=a3(a>0)，故A不对；
B、学生的成绩和体重，没有关系，故B不对；
C、路上酒后驾驶的人数会影响交通事故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关性，故C对；
D、水的体积V和重量x的关系为：V=k x，是确定的函数关系，故D不对；
故选：C．
2(★) 下列说法正确的是( )
A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系
B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系
C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系
D．人的体重与视力成负相关关系
【答案】C
【解析】对于A，圆的面积与半径之间的关系是确定的关系，是函数关系，所以A错误；
对于B，粮食产量与施肥量之间的关系是不是函数关系，是相关关系，所以B错误；
对于C，一定范围内，学生的成绩与学习时间是成正相关关系的，所以C正确；
对于D，人的体重与视力是没有相关关系的，所以D错误．
故选：C．
3(★) 变量有观测数据，得散点图(1)；对变量，有观测数据，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )
A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关
【答案】C
【解析】由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，
由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．
故选：C．
4(★) 判断如图所示的图形中具有相关关系的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，选项A，B中的x与y的对应是确定的，
选项C、D是不确定的，
而在选项C、D中，C具有相关关系，
故选：C．
5(★) 对两个变量的几组观测数据统计如表，则这两个相关变量的关系是( )
10 9 8 7 6 5
2 3 3.5 4 4.8 5
A．负相关 B．正相关
C．先正后负相关 D．先负后正相关
【答案】A
【解析】根据两个变量x，y的几组观测数据统计表知，
y随x的增大而减小，所以这两个相关变量负相关．
故选：A．
6(★) 关于相关关系，下列说法不正确的是( )
A．相关关系是一种非确定关系
B．相关关系r越大，两个变量的相关性越强
C．当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关
D．相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强
【答案】B
【解析】对于A，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，A正确；
对于B，相关关系|r|越大，两个变量的相关性越强，∴B错误；
对于C，当两个变量相关且相关系数r>0时，说明两个变量正相关，∴C正确；
对于D，相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，D正确．
故选：B．
7(★) 变量与相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，变量与相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则( )
参考公式：线性相关系数r
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知中的数据可知：第一组数据正相关，则相关系数大于零，
第二组数据负相关，则相关系数小于零，故选：C．
8(★) 【多选题】为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有( )
A．若所有样本点都在直线上，则
B．若所有样本点都在直线上，则
C．若越大，则变量与的线性相关性越强
D．若越小，则变量与的线性相关性越强
【答案】ABD
【解析】当所有样本点都在直线y=-2x+1上时，样本点数据完全负相关，其相关系数r=-1，所以A、B都错误；
相关系数|r|值越大，则变量x与y的线性相关性越强，C正确；
相关系数|r|值越小，则变量x与y的线性相关性越弱，D错误．
综上知，以上错误的说法是ABD．
故选：ABD．
9(★) 对相关系数，下列说法正确的是( )
A．越大，线性相关程度越大
B．越小，线性相关程度越大
C．越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大
D．且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小
【答案】D
【解析】两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，
表面两个变量的线性相关性越强，
r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，
故选：D．
10(★) 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．①②
【答案】B
【解析】∵两个变量的散点图，
若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，
∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．
故选：B．
11(★) 已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为，，，，则( )
A．甲组数据变量间的线性相关程度最强 B．乙组数据变量间的线性相关程度最弱
C．丙组数据变量间的线性相关程度最强 D．丁组数据变量间的线性相关程度最强
【答案】C
【解析】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，
甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为0.46，0.79，，0.85，
所以丙组数据的线性相关性最强．
故选：C．
12(★) 对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是( )
A．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
【答案】C
【解析】由线性相关系数r1=0.7859>0知x与y正相关，
由线性相关系数r2=-0.9568<0知u，v负相关，
又|r1|<|r2|，
∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．
故选：C．成对数据的统计相关性
1 相关关系与确定关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
比如 正方形面积与边长，高一定时圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系；体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系.
2 正相关与负相关
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；从散点图来看，点从左下角往右上角走.
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走.
比如脂肪含量与年龄 , 子女的身高与父亲的身高正相关.
3 线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
4 样本相关系数
对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，则
我们称为变量和变量的样本相关系数.
① 当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关.
② 越接近于，两个变量的线性相关性越强；
接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.
③ 样本相关系数也可以推导得到
【题型一】 相关关系与确定关系
【典题1】下面哪两个变量间是相关关系( )
A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格
C．身高与体重 D．铁块的大小与质量
【题型二】正相关与负相关
【典题1】有以下五组变量：
①某商品的销售价格与销售量；
②学生的学籍号与学生的数学成绩；
③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
④气温与冷饮销售量；
⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．
其中两个变量成正相关的是( )
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
【典题2】在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是( )
A． B．
C． D．
【题型三】成对数据的统计相关系数
【典题1】对某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
【典题2】如图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数变大 B．残差平方和变大
C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变强
巩固练习
1(★)下列两个量之间的关系是相关关系的为( )
A．正方体的体积与棱长的关系 B．学生的成绩和体重
C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少 D．水的体积和重量
2(★) 下列说法正确的是( )
A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系 B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系
C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系 D．人的体重与视力成负相关关系
3(★) 变量有观测数据，得散点图(1)；对变量，有观测数据，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )
A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关
4(★) 判断如图所示的图形中具有相关关系的是( )
A． B． C． D．
5(★) 对两个变量的几组观测数据统计如表，则这两个相关变量的关系是( )
10 9 8 7 6 5
2 3 3.5 4 4.8 5
A．负相关 B．正相关
C．先正后负相关 D．先负后正相关
6(★) 关于相关关系，下列说法不正确的是( )
A．相关关系是一种非确定关系
B．相关关系r越大，两个变量的相关性越强
C．当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关
D．相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强
7(★) 变量与相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，变量与相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则( )
参考公式：线性相关系数r
A． B． C． D．
8(★) 【多选题】为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有( )
A．若所有样本点都在直线上，则
B．若所有样本点都在直线上，则
C．若越大，则变量与的线性相关性越强
D．若越小，则变量与的线性相关性越强
9(★) 对相关系数，下列说法正确的是( )
A．越大，线性相关程度越大
B．越小，线性相关程度越大
C．越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大
D．且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小
10(★) 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．①②
11(★) 已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为，，，，则( )
A．甲组数据变量间的线性相关程度最强 B．乙组数据变量间的线性相关程度最弱
C．丙组数据变量间的线性相关程度最强 D．丁组数据变量间的线性相关程度最强
12(★) 对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是( )
A．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
