人教A版（2019）高中数学必修第二册 9.2.2《总体离散程度的估计》名师课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
复习引入
名称 优 点 缺 点
众数 ①体现了样本数据的最大集中点; ②容易得到 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息;
②无法客观地反映总体特征
中位数 ①不受少数几个极端数据,即排序靠前或靠后的几个数据的影响; ②容易得到,便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感
平均数 能反映出更多关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据越“离群”,对平均数的影响越大
人教A版同步教材名师课件
总体离散程度的估计
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解方差、标准差的定义和作用. 数学抽象
会求样本方差、标准差. 数学运算
形成对数据处理过程进行初步评价意识. 数据分析
学习目标
课程目标
1.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．
2.会求样本数据的方差、标准差、极差．
3.理解离散程度参数的统计含义.
数学学科素养
1.数学抽象：方差、标准差有关概念的理解；
2.数学运算：求方差、标准差;
3. 数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体.
探究新知
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算,不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时,使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置,可能与实际情况产生较大的误差,难以反映样本数据的实际状况,很多时候还不能使我们做出有效决策. 因此,我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
探究新知
问题、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练,你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核,你应当如何作出选择？
通过简单的排序和计算,可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7,从这个角度看,两名运动员之间没有差别.实际情况是他们的射击成绩是存在差异的,那么,如何度量成绩的这种差异呢？
探究新知
一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差,根据甲、乙运动员的10次射击成绩,可以得到
甲命中环数的极差=10-4=6,
乙命中环数的极差=9-5=4.
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及,所以极差所含的信息量很少.
我们知道,如果射击的成绩很稳定,那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远;相反,如果射击的成绩波动幅度很大,那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此,我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.
探究新知
假设一组数据是x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|xi-|(i=1,2,…,n)作为xi到的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,…,xn到的“平均距离”为|xi -|.
为了避免式中含有绝对值,通常改用平方来代替,即(xi-)2,我们称为这组数据的方差.
有时为了计算方差的方便,我们还把方差写成.
由于方差的单位是原始数据的单位的平方,与原始数据不一致.为了使二者单位一致,我们对方差开平方,取它的算术平方根,即,我们称为这组数据的标准差.
探究新知
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2=(Yi-)2为总体方差,S=为总体标准差.与总体均值类似,总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=fi(Yi-)2.
如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2=(yi-)2为样本方差,s=为样本标准差.
样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的周围越分散.
探究新知
在前面的问题中,我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度,计算可得
由可知,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小,由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.
如果要从这两名选手中选择一名参加比赛,要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置,如果两人都排在前面,就选成绩稳定的乙选手,否则可以选甲.
典例讲解
例1、某校高一年级开设了校本课程,现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如表, 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差,则（ ）
A. B. C. D. ,大小不能确定
解析
B
方法归纳
方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.应用时注意其公式的简化形式： .
变式训练
解析
1.一组数据中的每个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原数据的平均数和方差分别是（ ）
A.81.2,84.4 B.78.8,4.4 C.81.2,4.4 D.78.8,75.6
由新数据的构成方式及新数据的平均数为1.2,得原数据的平均数是81.2,由方差的性质得,两组数据的方差相等,故原数据的方差是4.4.
C
变式训练
解析
2、在某项体育比赛中,七位裁判给一选手打出的分数为90,89,90,95,93,94,93,去掉一个最高分和一个最低分后,剩余数据的平均值和方差分别为（ ）
A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8
去掉最高分95和最低分89后剩余数据
B
典例讲解
例2、甲、乙两种冬小麦连续5年的平均单位面积产量如下（单位： ）：
其中产量比较稳定的冬小麦品种是_________.
解析
,
即甲、乙两种冬小麦的平均产量都为
,
故甲种冬小麦的产量比较稳定.
甲种冬小麦
解析
3.甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加了5项预赛,成绩记录如下：甲：78,76,74,90,82；乙：90,70,75,85,80。
现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加更合适？试说明理由.
选派甲参加更合适.
变式训练
典例讲解
例3、如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为和
,样本标准差分别为,则（ ）
A.
B.
解析
观察图象可得：样本A的数据均小于或等于10,样本B的数据均大于或等于10,故又样本B的数据波动范围较小,所以
B
方法归纳
根据折线图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关,但一般情况下,整体分布位置较高的平均数大,数据波动较小的方差小.
折线图中数字特征的求解技巧
4.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示：
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和（1）中计算结果,对两人的训练成绩作出评价。
解析
（1）由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
,,
变式训练
变式训练
4.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示：
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和（1）中计算结果,对两人的训练成绩作出评价。
解析
从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.
典例讲解
例4、在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差,并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
把男生样本记为其平均数记为,方差记为;把女生样本记为,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为s2.
根据方差的定义,总样本方差为
解析
典例讲解
例4、在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差,并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
解析
由
可得
同理可得
因此
典例讲解
例4、在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差,并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
解析
由,根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系,可得总样本平均数为
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入,可得
1.已知一组数据的平均数为2,方差为,那么另一组数据的平均数和方差分别为( )
B.2,1 C.4, D.4,3
2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为( )
A.1 D.2
3.若有样本容量为8的样本平均数为5,方差为2,现样本中加入一新数据为4,现样本容量为9,则样本平均数和方差分别为( )
B.5,2
D
B
当堂练习
当堂练习
4.样本中共有5个个体,其值分别为,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为( )
C.2
5.某同学5天上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为12,8,10,9,11,则这组数据的方差为( )
A.4 B.2 C.9 D.3
6.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9位代表,得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,年龄在内的人数占公司人数的百分比是(其中是平均数,s为标准差,结果精确到1%) ( )
A.14% B.25% C.56% D.67%
D
B
归纳小结
总体离散程度的估计
特征量
极差的概念
样本方差、标准差的计算公式
极差、方差、标准差的联系与区别
方差的概念
标准差的概念
作 业
P214 练习：4、5