人教A版（2019）高中数学必修第二册 9.2.2总体百分位数的估计 导学案（含答案）

9.2.2 总体百分数的估计
1.理解百分位数的统计含义．
2.会求样本数据的第p百分位数.
1．数学抽象：百分位数的统计含义；
2．数学运算：求样本数据的第p百分位数.
重点：①百分位数的统计含义；②求样本数据的第p百分位数.
难点：求样本数据的第p百分位数.
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阅读课本201-203页，填写。
1.第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值．
2.计算第p百分位数的步骤
第1步，按从 到 排列原始数据．
第2步，计算i ＝ .
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为 数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 ．
3.四分位数
常用的分位数有第 百分位数、第 百分位数、第 百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成 份，因此称为四分位数．其中第 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．
1．一组数据的中位数相当于是(　　)
A．第25百分位数 B．第50百分位数
C．第75百分位数 D．第95百分位数
2．求下列一组数据1,2,2,3,4,4,5,6,6,7的第30 百分位数(　　)
A．2　B．3
C．4 D．2.5
3．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位：m/s)的数据如下：
27,38,30,36,35,31,33,29,38,34,28,36.则他的最大速度的第一四分位数是(　　)
A．27.5 B．28.5
C．29.5 D．30.5
4．下表所给数据的第85百分位数为________.
毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪
1 2 3 4 5 6 2 850 2 950 3 050 2 880 2 755 2 710 7 8 9 10 11 12 2 890 3 130 2 940 3 325 2 920 2 880
题型一 百分位数在具体数据中的应用
例1 有一样本的数据为3310,3355,3450,3480,3490,3520,3540,3550,3650,3730,3925,求这组数据的第50百分位数和第75百分位数.
跟踪训练一
1.　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数 学考试成绩情况如下：
甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.
乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
计算出学生甲、乙的第25,50的百分位数．
题型二 百分位数在统计表或统计图中的应用
例2　根据表1或图1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数．
分组 频数累积 频数 频率
[1.2,4.2) 正正正正 23 0.23
[4.2,7.2) 正正正正正正 32 0.32
[7.2,10.2) 正正 13 0.13
[10.2,13.2) 正 9 0.09
[13.2,16.2) 正 9 0.09
[16.2,19.2) 正 5 0.05
[19.2,22.2) 3 0.03
[22.2,25.2) 4 0.04
[25.2,28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
表1
跟踪训练二
1.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗
1．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)
A. 这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
2．高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170,168,172,172,175,176,180，求这7人的第40的百分位数为(　　)
A．168　　B．170
C．172 D．171
3.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，
则这15人成绩的第80百分位是(　　 )
A．90　　　B．90.5　　　C．91　　　D．91.5
4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为 ．
5.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数．
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
答案
小试牛刀
1. B.
2．A.
3．C.
4. 3130
自主探究
例1 【答案】第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.
【解析】(1)∵i=50%×11=5.5,
∴第50百分位数是第6项的值3520.
(2)∵i=0.75×11== 8.25,
∴第75百分位数是第9项的值,即3650.所以第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.
跟踪训练一
1.　【答案】学生甲的第25,50的百分位数为76,88.学生乙的第25,50的百分位数为86,98.
【解析】把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得
甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.
乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.
由13×25%＝3.25,13×50%＝6.5.
可得数据的第25,50百分位数为第4,7项数据，
即学生甲的第25,50的百分位数为76,88.
学生乙的第25,50的百分位数为86,98.
例2　【答案】月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
【解析】由表1可知，月均用水量在13.2 t以下的居民用户所占比例为
23%＋32%＋13%＋9%＝77%.
在16.2 t以下的居民用户所占的比例为
77%＋9%＝86%.
因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内．由
13.2＋3×＝14.2，
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
类似地，由
22.2＋3×＝22.95，
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
跟踪训练二
1.【答案】第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm..
【解析】 由题意知分别落在各区间上的频数为
在[80,90)上有60×0.15=9,
在[90,100)上有60×0.25=15,
在[100,110)上有60×0.3=18,
在[110,120)上有60×0.2=12,
在[120,130]上有60×0.1=6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,
由100+10×=100+≈103.3;
第75百分位数一定落在区间[110,120)上,
由110+10×=110+=112.5;
综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.
当堂检测
1-3. CCB
4. .
5．【答案】 (1)第25百分位数是8.15，第75百分位数是8.75，第95百分位数是9.9.
(2)产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
【解析】(1)将所有数据从小到大排列，得
7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，
则第25百分位数是＝8.15，
第75百分位数是＝8.75，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
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