人教A版（2019）高中数学必修第二册 9.2.4 总体离散程度的估计 导学案（含答案）

9.2.4 总体离散程度的估计
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．
2.会求样本数据的方差、标准差、极差．
3.理解离散程度参数的统计含义.
1．数学抽象：方差、标准差有关概念的理解；
2．数学运算：求方差、标准差;
3. 数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体.
重点：求样本数据的方差、标准差、极差.
难点：用样本平均数和样本标准差估计总体.
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阅读课本209-213页，填写。
1.方差、标准差的定义：
一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为(xi－)2＝ ，标准差为 .
2.总体方差、总体标准差的定义
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝ 为总体方差，S＝ 为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝ .
3.样本方差、样本标准差的定义
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝ 为样本方差，s＝为样本标准差．
4.方差、标准差特征
标准差、方差刻画了数据的 程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越 ；标准差越小，数据的离散程度越 ．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用 ．
1．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是(　　)
A．甲　　　 B．乙
C．甲、乙相同 D．不能确定
2．数学老师对某同学在参加高考前的5次数学模拟考试成绩进行统计分析，判断该同学的数学成绩是否稳定，那么老师需要知道该同学这5次成绩的(　　)
A．平均数或中位数
B．方差或标准差
C．众数或频率
D．频数或众数
3．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为________．
4．如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的方差为7，那么2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1这5个数的方差是________．
题型一 标准差与方差的应用
例1　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
跟踪训练一
1．为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．
理科：79,81,81,79,94,92,85,89
文科：94,80,90,81,73,84,90,80
计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？
题型二 用样本平均数和样本标准差估计总体
例2 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
跟踪训练二
1．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．
1．若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．32
2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
3．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 10 9 8 8 6
乙 9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是（ ）
A．甲射击的平均成绩比乙好
B．乙射击的平均成绩比甲好
C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
4．已知样本的平均数是，标准差是，则________.
5．如图所示的是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次．
(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；
(2)请用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．
答案
小试牛刀
1. B.
2．B .
3．.
4. 28
自主探究
例1　【答案】　(1)甲＝100，乙＝100.s＝，s＝1.
(2)乙机床加工零件的质量更稳定.
【解析】　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定.
跟踪训练一
1．【答案】理科1＝85(分)，方差s＝31.25；文科2＝84(分)，方差s＝41.75.
理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．
【解析】计算理科同学成绩的平均数1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85(分)，方差s＝×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；
计算文科同学成绩的平均数2＝×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84(分)，方差s＝×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75.
因为1>2，s所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．
例2 【答案】能，估计为51.4862
【解析】引入记号，把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为.
根据方差的定义，总样本方差为，为了与联系，变形为，计算后可得，.这样变形后可计算出．这也就是估计值．
跟踪训练二
1．【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.
【解析】 把专业人士打分样本记为x1，x2，…，x8，其平均数记为，方差记为s；把观众代表打分样本记为y1，y2，…，y12，其平均数为，方差记为s；把总体数据的平均数记为，方差记为s2.
则总样本平均数为：＝×47.4＋×56.2＝52.68(分)，
总样本方差为：s2＝[(xi－)2]＋(yj－)2]
＝{8[s＋(－)2]＋12[s＋(－)2]}
＝{8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6，
总样本标准差s＝10.37.
所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37.
当堂检测
1-3. CDD
4. 96.
5．【答案】(1)见解析，(2) 甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．.
【解析】(1)甲、乙两人的射击成绩统计表如下：
环数 6 7 8 9 10
甲命中次数 0 0 2 2 2
乙命中次数 0 1 0 3 2
(2)甲＝×(8×2＋9×2＋10×2)＝9(环)，
乙＝×(7×1＋9×3＋10×2)＝9(环)，
s＝×[(8－9)2×2＋(9－9)2×2＋(10－9)2×2]＝，
s＝×[(7－9)2＋(9－9)2×3＋(10－9)2×2]＝1，
因为甲＝乙，s所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．
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