人教A版（2019）高中数学必修第二册 9.2.1_总体取值规律的估计(第1课时)频率分布直方图_导学案

9.2.1 总体取值规律的估计
第1课时 频率分布直方图
1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律．
2.会列频率分布表，画频率分布直方图．
3.能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律．
1．直观想象：频率分布直方图的绘制与应用；
2．数学运算：频率分布直方图中的相关计算问题.
重点：①列频率分布表，画频率分布直方图；②根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律.
难点：①列频率分布表，画频率分布直方图；②根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律.
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阅读课本192-197页，填写。
1.频率分布直方图绘制步骤
①求 ，即一组数据中的最大值与最小值的差．
②决定 与 ．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越 ．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取
组距，并且组距应力求“ ”．
③将数据 ．
④列 表．计算各小组的频率，第i组的频率是 .
⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示 . 实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的 程度．
2. 频率分布直方图意义：各个小长方形的面积表示相应各组的 ，频率分布直方图以 的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于 .
3.总体取值规律的估计：我们可以用样本观测数据的 估计总体的取值规律．
4.频率分布直方图的特征：当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的 ；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常 ，不容易从中看出总体数据的分布特点．
1．判断下列说法是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一般样本容量越大，所分组数越多；样本容量越小，所分组数越小．(　　)
(2)频率分布直方图的横轴表示样本数据，纵轴表示频率．(　　)
(3)频率分布直方图中各个小长方形面积之和等于1.(　　)
2．关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是(　　)
A．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
C．直方图的高表示取某数的频率
D．直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值
3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40,0.125，则n的值为(　　)
A．640 B．320
C．240 D．160
4．如图所示是一个容量为1 000的样本频率分布直方图，请根据图形中的数据填空．
(1)样本数据落在范围[5,9)的频率为________；
(2)样本数据落在范围[9,13)的频数为________．
题型一 频率分布直方图的绘制与应用
例1 一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况,在一块试验地里抽取了100个麦穗,量得长度如下(单位:cm):
6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6 5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　
6.5　5.3　5.9　5.5　5.8 6.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5
6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4 6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　
6.3　5.2　6.0　7.0　6.4 6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6
5.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0 5.8　5.3　7.0　6.0　6.0　
5.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7 5.9　5.4　6.0　5.2　6.0
6.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3
根据上面的数据列出频率分布表、绘出频率分布直方图,并用自己的语言描述一下这批麦穗长的情况.
跟踪训练一
1.　某制造商3月份生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10
[39.97,39.99) 20
[39.99,40.01) 50
[40.01,40.03] 20
合计 100
补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在下图中画出频率分布直方图．
题型二 频率分布直方图中的相关计算问题
例2 在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是(　　)
A.210 B.205 C.200 D.195
跟踪训练二
1.如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率;
(2)求样本量;
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数.
1．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ）
A． B． C． D．
2．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（　　）
A．300， B．300， C．60， D．60，
3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A． B． C． D．
4．某重要路段限速70km/h，现对通过该路段的n辆汽车的车速进行检测，统计并绘成频率分布直方图（如图）若速度在60km/h～70km/h之间的车辆为150辆，则这n辆汽车中车速高于限速的汽车有_____辆.
5．某市四所重点中学进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机地抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组 频数 频率
① ②
0.050
0.200
36 0.300
0.275
12 ③
0.050
合计 ④
（1）根据上面的频率分布表，推出①②③④处的数字分别为 ， ， ， .
（2）补全上的频率分布直方图.
（3）根据题中的信息估计总体：
①成绩在120分及以上的学生人数；
②成绩在的频率.
答案
小试牛刀
1. (1)√ (2)× (3)√.
2．A.
3．B.
4. (1)0.32　(2)360
自主探究
例1 【答案】见解析
【解析】步骤是:
(1)计算极差,7.4-4.0=3.4(cm).
(2)决定组距与组数.
若取组距为0.3 cm,由于=11,需分成12组,组数合适.于是取定组距为0.3 cm,组数为12.
(3)将数据分组.
使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点稍微减小一点.则所分的12个小组可以是[3.95,4.25),[4.25,4.55),[4.55,4.85),…,[7.25,7.55].
(4)列频率分布表.
对各个小组作频数累计,然后数频数,算频率,列频率分布表,如下表所示:
分组 频数累计 频数 频率
[3.95,4.25) 1 0.01
[4.25,4.55) 1 0.01
[4.55,4.85) 2 0.02
[4.85,5.15) 5 0.05
[5.15,5.45) 11 0.11
[5.45,5.75) 15 0.15
[5.75,6.05) 28 0.28
[6.05,6.35) 13 0.13
[6.35,6.65) 11 0.11
[6.65,6.95) 10 0.10
[6.95,7.25) 2 0.02
[7.25,7.55] 1 0.01
合计 100 1.00
(5)画频率分布直方图,如图.
从表中看到,从频率分布表中可以看出，绝大部分麦穗长集中在5.15-5.95，并且5.75-6.05占比最大．
跟踪训练一
1.　【答案】见解析.
【解析】频率分布表如下：
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10 0.10
[39.97,39.99) 20 0.20
[39.99,40.01) 50 0.50
[40.01,40.03] 20 0.20
合计 100 1.00
频率分布直方图如下：
例2 【答案】C
【解析】由频率分布直方图,得在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,
∴在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4=200.故选C.
跟踪训练二
1.【答案】(1). (2) 50. (3) 39.
【解析】 由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于×3=.
(2)样本在[15,18)内的频数为8,由(1)可知,样本量为=8×=50.
(3)在[12,15)内的小矩形面积为0.06,故样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33)内的频数为50×(1-0.06)=47.又因为在[15,18)内的频数为8,故在[18,33)内的频数为47-8=39.
当堂检测
1-3. BBB
4. 190.
5．【答案】（1）3; 0.025; 0.100; 1（2）见解析（3）;
【解析】（1）在内的人数为36人,频率为0.300.
所以抽取的人数为人
在有12人,所以对应的频率为,故③对应的数字为0.100;
根据所有频率和为1,可知④对应的数字为1.则②对应的数字为 ，所以①对应的人数为
故①②③④处的数字分别为3; 0.025; 0.100; 1
（2）根据频率分布表,可得频率分布直方图如下图所示:
（3）①根据频率分布表及抽取总人数为120,可得成绩在120分及以上的学生人数为
人
②根据频率分布表,将内各组的频率求和可得
.
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