9.2.3 总体集中趋势的估计
基础巩固
1．一组数据，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( )
A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-3
3．如图，是高二（20）班一次物理考试成绩的频率分布直方图，由此可以估计出这个班这次物理成绩的中位数是（ ）
A．58 B．60 C．62 D．50
4．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：
下列叙述错误的是（ ）
A．这20天中指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
5．如图是一次考试成绩的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( )
A．46 B．36
C．56 D．60
6．一组数据，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是_____.
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某高中随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则这三个数的大小关系为_______________.
8．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，现用简单随机抽样从这两个学校高三年级学生中各抽取30名，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据如下.
（1）若甲校高三年级每位学生被抽到的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，，估计的值.
能力提升
9．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为( )
A．1.57 m B．1.56 m C．1.55 m D．1.54 m
10．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为______.
11．某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);
(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.
素养达成
12．小刘同学大学毕业后自主择业，回到农村老家发展蜜桔收购，然后卖出去，帮助村民致富.小刘打算利用“互联网+”的模式进行销售.为了更好地销售，假设该村每颗蜜柚树结果50个，现随机选了两棵树的蜜柚摘下来进行测重，其质量分布在区间内（单位：千克）的个数：，10；，10；，15；，40；，20；，5.
（1）作出其频率分布直方图并求其众数；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村蜜袖树上大约还有100颗树的蜜柚待出售，小刘提出两种收购方案：
A.所有蜜柚均以16元/千克收购；
B.低于2.25千克的蜜柚以22元/个收购，高于或等于2.25千克的以30元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
9.2.3 总体集中趋势的估计答案
基础巩固
1．一组数据，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数据，，，，，的众数是，所以，则这组数据的中位数是，
故选：C．
2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( )
A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-3
【答案】D
【解析】因为错将其中一个数据105输入为15,所以此时求出的数比实际的数差是,因此平均数之间的差是.
故答案为D
3．如图，是高二（20）班一次物理考试成绩的频率分布直方图，由此可以估计出这个班这次物理成绩的中位数是（ ）
A．58 B．60 C．62 D．50
【答案】B
【解析】因为在区间中的频率为,
在区间中的频率为,
在区间中的频率为.
因为,.故中位数在间,设为.
则,解得.
故选：B
4．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：
下列叙述错误的是（ ）
A．这20天中指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【答案】C
【解析】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；
对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；
对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；
对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.
5．如图是一次考试成绩的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( )
A．46 B．36
C．56 D．60
【答案】A
【解析】根据题中统计图，可估计有4人成绩在[0，20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20，40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40，60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60，80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80，100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数为＝46.
6．一组数据，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是_____.
【答案】15
【解析】因为数据，，，，，的众数是，所以，则这组数据的中位数是.
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某高中随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则这三个数的大小关系为_______________.
【答案】
【解析】有图可得.
8．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，现用简单随机抽样从这两个学校高三年级学生中各抽取30名，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据如下.
（1）若甲校高三年级每位学生被抽到的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，，估计的值.
【答案】（1）5，；（2）0.5.
【解析】（1）设甲校高三年级总人数为，则，解得：
又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为
估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为：
（2）用样本估计总体，甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，，由题中数据可知：
；
估计的值为
能力提升
9．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为( )
A．1.57 m B．1.56 m C．1.55 m D．1.54 m
【答案】B
【解析】因为从北方抽取了300个男孩，平均身高，
从南方抽取了200个男孩，平均身高为，
所以这500名13岁男孩的平均身高是，
据此可估计我国13岁男孩的平均身高约为，故选B．
10．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为______.
【答案】122.
【解析】根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为，
成绩在110分以下的学生所占比例为，
因此80%分位数一定位于内，
由，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122.
故答案为：122
11．某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);
(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.
【答案】（1）中位数为，平均数为 （2）
【解析】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为
因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,
由,得.
所以,这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,
(2)因为样本中90分及以上的频率为,
所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到
“优秀”等次的人数为人.
素养达成
12．小刘同学大学毕业后自主择业，回到农村老家发展蜜桔收购，然后卖出去，帮助村民致富.小刘打算利用“互联网+”的模式进行销售.为了更好地销售，假设该村每颗蜜柚树结果50个，现随机选了两棵树的蜜柚摘下来进行测重，其质量分布在区间内（单位：千克）的个数：，10；，10；，15；，40；，20；，5.
（1）作出其频率分布直方图并求其众数；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村蜜袖树上大约还有100颗树的蜜柚待出售，小刘提出两种收购方案：
A.所有蜜柚均以16元/千克收购；
B.低于2.25千克的蜜柚以22元/个收购，高于或等于2.25千克的以30元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
【答案】（1）频率分布直方图见解析，众数为2.375；（2）应该选择方案A
【解析】（1）
众数为2.375
（2）方案A好，理由如下：
由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为
同理，蜜柚质量在，，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05
若按方案A收购：
于是总收益为
（元）
若按方案B收购：
∵蜜柚质量低于2.25千克的个数为个
蜜柚质量不低于2.25克的个数为个，
∴收益为元，
∴方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.
4 / 119.2.3 总体集中趋势的估计
一、选择题
1． 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）.
A． B． C． D．
2．期中考试以后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．若数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为（ ）
A． B． C． D．
4．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )
A．31.6岁 B．32.6岁 C．33.6岁 D．36.6岁
5．（多选题）在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）
A．成绩在分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
6．（多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（ ）
A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数
B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间
C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差
D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数
二、填空题
7．某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为、、、、．已知这组数据的平均数为，则的值为_____．
8．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分．
9．已知一组数据为，5，7，X，11，且这组数据的众数为5，那么这组数据的中位数是________.
10．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
（1）这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________.
（2）这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________.
三、解答题
11．某班主任利用周末时间对该班级年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于之间，现将所有分数情况分为、、、、、、共七组，其频率分布直方图如图所示，已知.
（1）求频率分布直方图中、的值；
（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数.（每组数据用该组区间中点值作为代表）
12．为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为、、、、、、.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和中位数的估计值；
（3）在月平均用电量为的四组用户中，采用分层抽样的方法抽取户居民，则应从月用电量在居民中抽取多少户？
9.2.3 总体集中趋势的估计答案
一、选择题
1． 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
中位数为，众数为.故选：B.
2．期中考试以后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】利用平均数计算公式算出这41个分数的平均值为N ，M∶N的值为1,故选B．
3．若数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知条件得，
则新数据的平均数为.故选：B.
4．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )
A．31.6岁 B．32.6岁 C．33.6岁 D．36.6岁
【答案】C
【解析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，所以，数据位于的频率为，前两个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，所以，中位数位于区间，设中位数为，则有，解得（岁），故选C．
5．（多选题）在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）
A．成绩在分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
【答案】ABC
【解析】由频率分布直方图可得，成绩在内的频率最高，因此考生人数最多，故正确；由频率分布直方图可得，成绩在的频率为0.25，因此，不及格的人数为，故正确；由频率分布直方图可得，平均分为，故正确；因为成绩在内的频率为0.45，的频率为0.3，所以中位数为，故错误.
6．（多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（ ）
A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数
B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间
C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差
D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数
【答案】BD
【解析】对于A，甲同学的成绩的平均数种，
乙同学的成绩的平均数，
故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于之间，乙同学的成绩的极差介于之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，
故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在115~120之间，乙同学的成绩的中位数在125~130之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确.
二、填空题
7．某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为、、、、．已知这组数据的平均数为，则的值为_____．
【答案】
【解析】根据题意，数据、、、、的平均数为，则有,
解得.
8．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分．
【答案】85
【解析】甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，
算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，
该校数学建模兴趣班的平均成绩是=85分．
9．已知一组数据为，5，7，X，11，且这组数据的众数为5，那么这组数据的中位数是________.
【答案】5.
【解析】由这组数据的众数为5，得，这组数据按从小到大的顺序排列为，5，5，7，11，所以中位数为5.
10．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
（1）这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________.
（2）这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________.
【答案】 62.5 64
【解析】（1）设中位数为x，则，解得.
（2）.
三、解答题
11．某班主任利用周末时间对该班级年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于之间，现将所有分数情况分为、、、、、、共七组，其频率分布直方图如图所示，已知.
（1）求频率分布直方图中、的值；
（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数.（每组数据用该组区间中点值作为代表）
【答案】（1），；（2）平均数为，中位数为.
【解析】（1）由频率分布直方图，得，
解得；
（2）该班级这次月考语文作文分数的平均数为，
因为，，所以该班级这次月考语文作文分数的中位数为.
12．为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为、、、、、、.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和中位数的估计值；
（3）在月平均用电量为的四组用户中，采用分层抽样的方法抽取户居民，则应从月用电量在居民中抽取多少户？
【答案】（1）；（2）众数为度，中位数为度；（3）户.
【解析】（1）因为，所以；
（2）月平均用电量众数的估计值为度，
，
故中位数，所以，，解得，
故月平均用电量中位数的估计值为度；
（3）月均用电量在、、、的用户分别为户、户、户、户，
其中，月均用电量为的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例为，
所以在月均用电量为的用户中应抽取（户）.
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