1.1 集合的概念 典型题总结测试卷（含解析）

1.1 集合的概念 典型题总结
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．下列四组对象能构成集合的是（ ）
A．高一年级跑步很快的同学 B．晓天中学足球队的同学
C．晓天镇的大河 D．著名的数学家
2．集合或中元素的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点
B．德育中学的全体高一学生
C．某高一年级全体视力差的学生
D．与大小相仿的所有三角形
5．考察下列每组对象，能构成集合的是（　　）
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于的自然数；
④截止到年月日，参与“一带一路”的国家．
A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④
6．集合，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则中所含元素的个数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．20
二、多选题
9．已知集合，则有（　　）
A． B．
C． D．
10．下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．集合中只有一个元素
D．集合是有限集
11．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．集合用列举法表示为{0，1}
B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}
C．方程组的解组成的集合为
D．方程的所有解组成的集合为
12．设集合，集合，则下列是集合B中元素的是（　 　）
A．4 B．5 C．6 D．7
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．若集合有且仅有一个元素，则实数的值是______．
14．用列举法表示集合，______．
15．若，则a的值是___．
16．已知，，定义则______.
四、解答题
17．下面三个集合：请说说它们各自代表的含义．
18．设A是实数集的非空子集，称集合为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值．
19．设集合；
(1)判断元素7是否属于，并说明理由；
(2)已知实数，证明：；
(3)对任意，判断是否是集合中的元素？并证明你的结论；
20．（1）用列举法表示下列集合：
①；②；③平方等于25的实数．
（2）用描述法表示下列集合：
①被5除余3的正整数集合；②；③2的平方根．
21．设关于的不等式的解集为 .
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
22．含有三个实数的集合，若且，求的值.
参考答案：
1．B
【分析】根据集合元素的确定性判断出正确答案.
【详解】集合元素具有确定性，
高一年级跑步很快的同学、晓天镇的大河、著名的数学家，这三组对象不确定，不能构成集合.
“晓天中学足球队的同学”满足集合元素的：确定性、互异性、无序性，
所以“晓天中学足球队的同学”能够构成集合.
故选：B
2．C
【分析】根据集合的互异性求解即可.
【详解】，解得，
，解得或.
所以由集合元素的互异性可知集合为，元素个数为.
故选：C
3．D
【分析】由题意可知，集合由集合中元素为正数的元素组成的集合，即可得出答案.
【详解】由题意可知，集合由集合中元素为正数的元素组成的集合，
结合集合可得：.
故选：D.
4．B
【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可.
【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误；
对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确；
对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误；
对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误
故选：B
5．B
【分析】利用集合中元素具有确定性依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，“美丽”标准不明确，不符合集合中元素的确定性，①中对象不能构成集合；
对于②③④，每组对象的标准明确，都符合集合中元素的确定性，②③④中对象可以构成集合.
故选：B.
6．A
【分析】利用元素与集合的关系列出不等式，解之即可求解.
【详解】因为集合，，
所以，即
故选：A.
7．B
【分析】利用常用数集符合的意义，逐项判断作答.
【详解】表示正整数集，而-3是负整数，A不正确；
表示自然数集，0是自然数，B正确；
表示整数集，是分数，C不正确；
表示有理数集，是无理数，D不正确.
故选：B
8．D
【分析】列举法分类列出B中所有元素.
【详解】B中元素：
x=1，y=2，3，4，5 即：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）
x=2，y=1，3，4，5 即：（2，1）、（2，3）、（2，4）、（2，5）
x=3，y=1，2，4，5 即：（3，1）、（3，2）、（3，4）、（3，5）
x=4，y=1，2，3，5 即：（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，5）
x=5，y=1，2，3，4 即：（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）
所以B中元素共有20个.
故选：D.
9．AB
【分析】根据集合的描述列举出集合中的元素即可逐项判断.
【详解】解：，所以，，，.
故选：AB.
10．CD
【分析】根据集合的概念以及表示，判定命题的真假.
【详解】根据的定义知，A、B均不正确；
只有一个元素，C正确；
中只有两个元素，D正确.
故选：CD.
11．AD
【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及集合的表示法判断B，C，D作答.
【详解】对于A，由，得或或，而，
因此集合用列举法表示为{0，1}，A正确；
对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，
所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确；
对于C，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，C不正确；
对于D，由，得且，则所有解组成的集合为，D正确.
故选：AD
12．ABC
【分析】写出集合B中的所有元素，再对照选项逐一判断即可.
【详解】解：因为集合，集合，
所以，
故选：ABC.
13．或
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的值.
【详解】当时，，符合题意.
当时，令，
解得，
综上所述，的值为或
故答案为：或
14．
【分析】利用列举法求解即可.
【详解】因为,所以且,即且,
又因为,所以,对应的,
其中,所以只能取,
故,
故答案为: .
15．
【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案.
【详解】由于，所以或，
解得或.
当时，不满足集合元素的互异性；
当时，集合为，符合题意.
所以的值为.
故答案为：
16．
【分析】列举两个集合中的元素，完成新集合中元素的运算，表示出新集合.
【详解】解：，
，
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
所以，
故答案为：.
17．答案见解析
【分析】根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，为数集，为数集，为点集．
【详解】是数集，是以函数的定义域构成集合，且；
是数集，是由函数的值域构成，且；
为点集，是由抛物线上的点构成．
18．(1)
(2)7
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解.
【详解】（1）根据题意，，
，
（2）设，
不妨设，
所以中元素个数大于等于7个，
所以生成集合中元素个数最小值为7.
19．(1)，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)，证明见解析.
【分析】（1）由题设且，讨论、对应值，求出参数，判断是否满足即可；
（2）假设，讨论分解的可能组成，讨论、求，结合即可证结论；
（3）令且，研究是否为两个整数的平方差形式，即可得结果.
（1）
若，则，又，
所以或或或，
解得或或或，显然满足要求，
所以.
（2）
若，则，而可分解为一个奇数与偶数的乘积形式，
不妨令或或或，
解得或或或，，显然不符合，
所以.
（3）
，证明如下：
由，即，且，
所以 ，
显然、，故.
20．详见解析.
【分析】（1）根据列举法的概念结合条件即得；
（2）根据描述法的概念结合条件即得.
【详解】（1）①因为，，
所以都只能取1,2,3,4，故所求的集合为；
②由题可知可取，根据元素的互异性，
所以所求的集合为；
③因为，所以所求的集合为;
（2）①被5除余3的正整数集合为；
②；
③2的平方根，用集合表示为.
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用分类讨论的数学思想即可求出,（2）利用分类讨论解出关于的不等式即可得到的取值范围
（1）
因为关于的不等式解集为,
故，所以原不等式可化为.
当时，不等式解集为.
当时，解不等式为即解集为
当时，解不等式为即解集为
综上所述：时解集为，时解集为，时解集为
（2）
因为，所以故
当时，解得.
当时，解得 .
综上所述：的取值范围为
22．1
【分析】利用集合中元素的互异性可求解.
【详解】由,可知，故，所以解得，
又可得或，
当时，与集合中元素的互异性矛盾，
所以且，所以，
故，，所以.