4.4数学归纳法 课时同步练习（含解析）

4.4 数学归纳法
课时同步练习
1．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A． B．
C． D．
2.用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
3.用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
4.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
5.对于不等式(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即那么当n=k+1时,=(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.
则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．n=1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确
6．（2020·郏县第一高级中学高二开学考试（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（ ）
A．增加了 B．增加了
C．增加了，但减少了 D．以上各种情况均不对
7.用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ）
A． B． C． D．
8.利用数学归纳法证明“，”时，从””变到“”时，左边应增加的因式是（ ）
A． B． C． D．
9.已知,存在自然数,使得对任意,都能使整除,则最大的的值为( )
A．30 B．9 C．36 D．6
10.用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.
11.利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.
12.用数学归纳法证明“当时，能被31整除”时，从到时需添加的项是______.
13.用数学归纳法证明：
．
14.已知数列的前项和为，且满足，
（1）求，，，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
15.（1）计算；
（2）由以上结果推测计算的公式，并用数学归纳法给出证明.
16.已知数列，首项，前项和足.
（1）求出，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
17.已知是等差数列,是等比数列,．设是数列的前项和．
(1)求；
(2)试用数学归纳法证明：．
1.【答案】D
【解析】
的初始值应为1，而.
故选D
2.【答案】D
【解析】
当时，左边，
当时，左边
，
所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；
故选：D
3.【答案】D
【解析】
当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；
当时，左边，共有项；
所以从“到”左边增加的项数是项.
故选D
4.【答案】C
【解析】
当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，
增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】
题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：
在（2）中假设 时有 成立，即成立，即时成立，故选D．
6.【答案】C
【解析】
当时，，
当时，，
故增加了，但减少了.
故选：.
7.【答案】D
【解析】
由题意有，假设时，成立，则
当时，
左边
右边
∴由数学归纳法可知上式成立
∴显然等式两边需同乘
故选：D.
8.【答案】D
【解析】
由题意“”时，左边为，
“”时，左边为，
从而可得增加两项为，
且减少项为，故选D.
9.【答案】C
【解析】
由，得，
，，
，由此猜想.
下面用数学归纳法证明：
(1)当时，显然成立。
(2)假设时， 能被36整除，即
能被36整除；
当时,
是2的倍数，
能被36整除，
当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，
的最大值为36.
故选：C.
10.【答案】
【解析】
因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1
所以，左边的式子为，
故答案为.
11.【答案】
【解析】
当时，等式为，
当时，等式为，
因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.
故答案为：.
12.【答案】
【解析】
根据数学归纳法，
当时：原式为：；
当时，原式为.
故需添加的项是：.
故答案为：.
13.【答案】详见解析
【解析】
证明（1）当时，左边，右边，命题成立．
（2）假设时，命题成立，即．
则当时，
．
所以当时，命题成立．
综合（1）（2）可知，原命题成立．
14.【答案】（1），，，；（2）见解析
【解析】
（1），当时，，且，
于是，从而可以得到，，猜想通项公式；
（2）下面用数学归纳法证明：．
①当时，满足通项公式；
②假设当时，命题成立，即，
由（1）知，，即证当时命题成立.
由①②可证成立．
15.【答案】（1）；（2），证明见详解
【解析】
（1），
，
；
（2）由（1）猜想 ，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.
①时，，成立；
②假设时，有成立，
则当时，
，
时，猜想也成立，
故由①，②可知，猜想对都成立.
16.【答案】（1），，，；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意，由，，得：
，
由，得：，
由，得：，
由，得：，
猜想的表达式为：；
综上所述，答案为：，，，；；
（2）证明：
1.当时，，∵，∴猜想正确；
2.假设当时，猜想正确，即；
那当时，由已知得：
将归纳假设代入上式，得：
∴，
这就是说，当时，猜想正确；
综上所述1，2知：对一切，都有成立.
17.【答案】(1)；(2)见解析
【解析】
(1)设的公差为的公比为,由,得．
又由,得解得．
所以．
(2)证明：由(1)知,,则．
①当时,,结论成立．
②假设当时,成立,则当时,
,结论也成立．
综合①②,由数学归纳法可知,.