5.4三角函数的图像和性质
一、单选题
1.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时8秒.经过秒后,水斗旋转到点,设点的坐标为,其纵坐标满足,则的表达式为( )
A. B.
C. D.
2.已知偶函数的定义域为,对任意,都有,且当时,,则函数的零点的个数为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
3.函数图像的对称轴方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数,则下列结论中正确的是( )
A.的最小正周期为
B.点是图象的一个对称中心
C.的值域为
D.不等式的解集为
5.已知函数,若对任意的实数在区间上的值域均为,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.三角形的三边分别为,秦九韶公式和海伦公式是等价的,都是用来求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中,给出若四边形的四边分别为,则(为一组对角和的一半).已知四边形四条边长分别为,则四边形最大面积为( )
A.21 B. C. D.
7.已知函数在上有且仅有4个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.关于函数,有下列命题:
①由可得必是的整数倍;
②的表达式可改写为;
③的图象关于点对称;
④的图象与图象连续三个交点构成的三角形的面积为.
其中所有正确的命题的序号为( )
A.②③ B.①③④ C.③④ D.②③④
9.已知函数,且,则下列陈述不正确的是( )
A.若函数的相邻对称轴之间的距离为,则函数的最小正周期为π
B.若函数的相邻对称轴之间的距离为,则为的一条对称轴
C.若函数在区间上有三个零点,则的范围为
D.若函数在无零点,则的范围为
10.函数图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
11.下列结论中,错用基本不等式做依据的是( )
A.a,b均为负数,则. B..
C.. D..
12.已知函数,,若函数在上的大致图象如图所示,则的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
13.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
14.函数在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
15.设函数,则下列说法正确的是( )
A.若把的图像向右平移个单位长度,所得函数图像与图像重合
B.的图像关于直线对称
C.的最大值为1
D.是奇函数但不是周期函数
二、填空题
16.如图,函数图像与轴交于点,与轴交于点,则______.
17.已知,若关于的方程恰有三个不同的解,则满足上述条件的的值可以为_____________.(写出一个即可)
18.若函数是周期为4的奇函数,且在上的解析式为,则____________.
19.已知,若是函数的一个周期,则___________.
三、解答题
20.已知函数的部分图像如图所示,若,求的解析式.
参考答案:
1.D
【分析】由点A坐标,可求得.由题可知的最小正周期为8,据此可求得.又由题,有,结合可得.
【详解】因点在水车上,所以.
由题可知的最小正周期为8,则,又,则.
因,则,又,故.
综上:.
故选:D
2.C
【分析】将问题化为与图象的交点个数,结合偶函数对称性只需研究与在的交点个数,数形结合判断交点个数即可.
【详解】将问题化为与图象的交点个数,显然也是定义在上的偶函数,
所以,只需研究与在的交点个数,再乘以2即可得结果.
对应:时,在上递减,上递增;
任意都有,易知上,在上递减,上递增,;
又在上递增,且,,
综上,与在存在交点,且函数图象如下图:
由图知:上共有6个交点,根据偶函数的对称性知:共有12个交点,
所以原函数有12个零点.
故选:C
3.A
【分析】由的对称轴为,代换解出即可
【详解】由函数的对称轴为
令,得:
所以函数图像的对称轴方程为:
故选:A.
4.C
【分析】把函数用分段函数表示,再作出的图象,观察图象即可判断选项A,B,C,解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】,
作出的图象,如图,
观察图象,的最小正周期为,A错误;
的图象没有对称中心,B错误;
的值域为,C正确;
不等式,即时,,得,
解得,
所以的解集为,故D错误.
故选:C
5.C
【分析】根据函数的解析式,结合对任意的实数在区间上的值域均为,可得在区间上既能取得最大值,也能取得最小值,可得函数最小正周期,即可求得答案.
【详解】由题意,
当 ,有最大值为,
当 ,有最小值为,
又,所以的最小正周期 ,
因为对任意的实数t,在区间上的值域均为,
所以在区间上既能取得最大值,也能取得最小值,
所以,解得 ,
故选:C.
6.D
【分析】将边长代入面积公式转化为的最值问题即可.
【详解】且四边形四条边长分别为,
,
,
当,即时,
故选:D
7.C
【分析】求出的范围,然后由余弦函数性质列不等式,求得参数范围.
【详解】设
因为,,所以,
因为函数在上有且只有4个零点,
由余弦函数性质可知,解得.
故选:C.
8.D
【分析】先求出函数的最小正周期,可知①错;利用诱导公式化简②,即可判断正误;将代入函数中,求出函数值,即可判断③是否正确;解出三个连续的交点坐标,求出三角形面积,即可判断④是否正确.
【详解】①函数的最小正周期为,
函数值等于的之差最小值为,
必是的整数倍, ①错误.
②,
②正确.
③,
的图象关于点对称,③正确.
④的图象与图象连续三个交点为,,,所构成三角形面积为④正确.
故选:D.
9.C
【分析】由求得,,然后由相邻对称轴的距离可判断A,求得后,再结合正弦函数的对称性判断B,根据零点的定义求出范围判断CD.
【详解】,,则,,
选项A,,正确;
选项B,,,,
时,,因此是函数图象的一条对称轴,正确;
选项C,时,有三个零点,则,,错误;
选项D,时,因为,则,无零点,
,
或,
或,
若,则,此时,在上一定有零点,不合题意,
所以,正确.
故选:C.
10.B
【分析】分析函数的奇偶性,并排除两个选项,再由时值的正负判断作答.
【详解】依题意,函数的定义域为R,,
即函数是R上的奇函数,其图象关于原点对称,选项A,C不满足;
当时,,即有,选项D不满足,B符合题意.
故选:B
11.C
【分析】根据均值不等式解题必须满足三个基本条件:“一正,二定、三相等”,可知选项ABD不符合要求,而选项C,只需要举反例(不满足“一正”)即可判断其符合要求.
【详解】对于A,因为a,b均为负数,所以,
所以,当且仅当,即时,等号成立,
所以,故A不符合要求;
对于B,易知,则,
当且仅当,即时,等号成立,
所以,故B不符合要求;
对于C,当时,,显然是因为不满足“一正”导致的错误,故C符合要求;
对于D,因为,所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以,故D不符合要求.
故选:C.
12.D
【分析】根据图象判断函数的奇偶性,结合特殊值,可得答案.
【详解】易知为偶函数,由,则为奇函数,
由图象可知,该函数是奇函数,因为是偶函数,是奇函数,所以是非奇非偶函数,A,B不符合题意.
因为当时,无意义,所以C不符合题意.
故选:D.
13.B
【分析】根据图象,知函数存在奇偶性,先判断函数的奇偶性,然后根据结合函数值的正负,可得出答案.
【详解】函数,定义域为,,
所以函数为奇函数,则排除AD项;
当时,,,所以有,所以,B项符合条件.
故选:B.
14.B
【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号即得.
【详解】因为函数,,
又,
所以为奇函数图象关于原点对称,排除AD;
又时,,所以,排除C.
故选:B.
15.C
【分析】A选项验证是否成立即可;B选项验证是否成立即可;C选项化简函数,换元法转化函数,利用函数导数性质求函数最值,D选项利用函数的奇偶性以及周期性验证即可.
【详解】选项A:对,,
所以选项A不正确;
选项B:对,,
由,故选项B不正确;
选项C:,
令,,则,
所以,
令,
所以在单调递增
或
所以在单调递减
当,极大值为,
当,极小值为,
当,,,,
所以最大值为1,选项C正确;
选项D:对,
,
故是奇函数,
而,
故是周期函数,
选项D不正确,
故选:C.
16.
【分析】由题意得或,且,,结合图象有求范围,即可确定参数值.
【详解】由题设且,
所以或,且,,
当时,,,故,,
当时,,,故,,
由图知:,可得,
综上,时,此时,故.
故答案为:
17.4,5,6,7,8,9,10(写出其中一个即可)
【分析】利用换元法,结合两个函数图象的交点情况进行求解.
【详解】设,则,原方程化为,
设,则函数恒过点;
如图,设直线分别与函数切于两点;
由图可知,当过点的直线的斜率介于直线和直线的斜率之间时符合题意.
先求大致限定范围:
,解得,
由于取正整数,当时,由图检验可知,符合题意;
当时,由图检验可知,符合题意;
所以的值可以为4,5,6,7,8,9,10(写出一个即可).
故答案为:4,5,6,7,8,9,10(写出其中一个即可)
18.##0.3125
【分析】利用函数的周期性、奇偶性结合给定区间上的分段函数,分段计算作答.
【详解】因函数是周期为4的奇函数,且有,
所以.
故答案为:
19.4
【分析】根据是函数的一个周期,可知是的整数倍,即应为整数,结合,可得答案.
【详解】由题意可知是的整数倍,即应为整数,
由于,故,
故答案为:4.
20.
【分析】由函数图像分别求出,即可得函数的解析式.
【详解】由题图可知.
所以.
由周期知.
由得,
所以,
所以,
所以,又,所以.
所以.