人教A版（2019） 必修第二册 必杀技 第6章 专题1 平面向量的综合应用（含解析）

人教A版（2019） 必修第二册 必杀技 第6章 专题1 平面向量的综合应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：
①给定向量，总存在向量，使；
②给定向量和，总存在实数和，使；
③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；
上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
3．如图，在中，，则
A． B． C． D．
4．如图，在四形中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数　　
A．0 B．1 C． D．
6．已知向量 ， ，若，则实数的值为
A． B． C．, D． ,
7．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为
A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
8．已知是非零向量，且满足，则的形状为
A．等腰（非等边）三角形 B．直角（非等腰）三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
9．若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
10．已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
11．在中，若，且，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
二、填空题
12．设点是的外心，，则_______.
13．在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示）
14．如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为 _____.
15．如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________.
16．在中，若，则的值为____________.
17．在直角中，，为边的中点，为线段上一动点，且满足，则的取值范围为_______________.
18．在平行四边形ABCD中，已知AD=1,AB=2,对角线BD=2，则对角线AC=_______.
19．设空间中有四个互异的点A B C D，若，则的形状是___________.
三、解答题
20．如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.
21．已知向量，，
（1）若与向量垂直，求实数的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．
22．已知向量.
(1)求与平行的单位向量；
(2)设，若存在，使得成立，求k的取值范围.
参考答案：
1．B
【详解】试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B．
考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．
2．C
【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以，
所以，
因为0≤x≤1，所以，
即的取值范围是.
故选C.
点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
3．D
【分析】采用建系法进行求解，以AB方向为x轴，AD方向为y轴，建立直角坐标系，分别表示出,再进行求解即可
【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图.
设，则.
∵，∴，
∴.
∵，∴.
答案选D
【点睛】在几何问题中，如遇题中涉及垂直问题，有两种处理思路：1.按照垂直方向建立直角坐标系，表示出所求向量，再进行运算。2.按照垂直方向规定两个基底向量，将所求向量用基底向量进行表示，再进行运算
4．A
【分析】由，，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将化为，从而得到结果.
【详解】，


故选：
【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式.
5．B
【分析】根据向量坐标运算，用m表示出P点坐标，根据点P在y轴上即可求得m的值．
【详解】
点P在y轴上
故选B
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
6．C
【分析】根据，两边平方可得出，利用平面向量数量积的坐标表示解方程即可.
【详解】向量，若，
则，
，
，
解得或，故选C.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及数量积的运算，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
7．C
【分析】用向量法判断三角形形状可将每一条线段转化成向量的坐标表示法，再根据向量垂直的条件和模长公式来进行判断
【详解】∵，且，∴为等腰直角三角形.
答案选C
【点睛】此题还可采用把点还原坐标法，根据坐标中呈现形状，再采用向量法来进行证明
8．C
【分析】先将题中进行转化，再观察转化条件存在的基本关系，根据向量夹角的余弦公式和模长公式来进行判断即可
【详解】∵，∴，
即.
∵，∴，
即，
∴，即.
∵，∴，∴为等边三角形.
答案选C
【点睛】三角形形状的判断向量法常采用模长公式、夹角的余弦公式、向量垂直公式进行求解，解题时可灵活选用
9．B
【分析】由平面向量的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可得解.
【详解】中，
因与均为非零向量，则，即，是直角三角形.
故选：B
10．D
【分析】由已知数量积相等，结合数量积的定义可得出，再由数量积的定义求得，从而判断出三角形形状．
【详解】解：中，，
，
，，，
，是等腰三角形；
又，
，
，，
∴是等边三角形.
故选：D.
11．A
【分析】由题中，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】如图所示.
，
，
.
∵，∴.作于，则，∴，
∴为的中点，∴.
同理可证，∴为等边三角形.
答案选A
【点睛】个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解
12．
【分析】由三角形外心的性质，再结合图形，利用向量的线性运算，转化成跟两组基底向量相关的向量来进行求解
【详解】设为平面内的一组基底.如图所示，
设为的中点，连接，则.
又∵，
∴
.
【点睛】考生需熟悉三角形外心一些基本特点。三角形外心为外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等、外心为各边中垂线的交点。在运用向量基底解决几何问题时，关键是学会将任何一组向量转化成跟基底向量有关的向量进行表示
13．
【详解】解：，，所以。
14．4
【分析】以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，属于难题
【详解】设，以，为一组基底，则.
∵点与点分别共线，
∴存在实数和，使.
又∵，
∴解得
∴，
∴.
【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解
15．##
【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为，分别为线段，的中点，
所以,
,
,
所以
,
所以，解得，
所以，
所以的值为.
故答案为：.
16．3.
【解析】解三角形得出各边长，然后由数量积的定义计算．
【详解】∵，∴.，
∴.
故答案为：3．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，通过直角三角形求出各边长，然后根据数量积的定义计算，解题关键是确定向量的夹角．为此利用相反向量计算．
17．.
【解析】由数量积的定义把用的余弦表示，由的范围可得结论．
【详解】如图.∵为中斜边的中点，，∴.∵，
∴，∴.
∵，∴，∴.又在上，
∴，∴.
故答案为：．
【点睛】本题考查用平面向量的数量积表示向量的模，掌握数量积的定义是解题关键．
18．
【详解】在中, AD=1,AB=2,对角线BD=2，由余弦定理可得, ,在中, ,
故对角线AC=,应填.
19．等腰三角形
【分析】由，利用向量的减法和数量积运算求解.
【详解】解：因为，
所以，
则，即，
所以的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
20．证明见解析
【分析】把看做两组基底向量，，采用向量数量积公式，再结合角度关系进行转化求解，进而得证
【详解】因为是的中点，所以.
又因为，
所以
，
所以，即.
【点睛】找准基底向量是解决此题的关键，“中点、垂直”等字样可帮助我们快速建立基底，在表示向量夹角时，一定要注意是两向量共起点的夹角
21．（1）；（2）
【分析】（1）求出以及的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；
（2）求出与向量的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.
【详解】（1）因为向量，，所以，
，
若与向量垂直，则，
即，解得：；
（2），，
若与向量平行，所以，
解得：.
22．(1)或
(2)
【分析】（1）待定系数法设坐标后列方程组求解
（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题
（1）
设，根据题意得
解得或或.
（2）
.
.，
.问题转化为关于t的二次方程在内有解.
令，
①当，即时，在内为增函数，
方程在内无解.
②当，即时，由，解得或.
③当，即时，在内为减函数，由得.解得.
综上，实数k的取值范围为.