河北省2022-2023学年高三上学期省级联测考试数学试题（含解析）

2022-2023学年河北省省级联测高三上学期数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
已知函数若，则( )
A. B. C. D.
若，则复数可能为( )
A. B. C. D.
已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
已知，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
若双曲线：上存在、、、四点，使得四边形为正方形，且原点为正方形中心，为双曲线右顶点，在第一象限，，设双曲线的离心率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列命题不正确的是( )
A. 若，则
B. 三个数，，成等比数列的充要条件是
C. 向量，共线的充要条件是有且仅有一个实数，使
D. 已知命题：时，，则命题的否定为：时，
已知当时，，并且满足，，则下列关于函数说法正确的是( )
A. B. 周期
C. 的图象关于对称 D. 的图象关于对称
如图几何体由两个棱长为的正方体堆叠而成，为的中点，下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 三棱锥的体积为
C. 该几何体外接球的体积为
D. 若为动点，且，则点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为
星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，下列有关说法正确的是( )
A. 星形线关于对称
B. 星形线图象围成的面积小于
C. 星形线上的点到轴，轴距离乘积的最大值为
D. 星形线上的点到原点距离的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
毛泽东思想是党的重要思想，某学校在团员活动中将四卷不同的毛泽东选集分发给三名同学，每个人至少分发一本，一共有 种分发方法．
已知随机变量服从正态分布，且，则 附：若，则，，
已知是该函数的极值点，定义表示超过实数的最小整数，则
的值为 ．
单位圆中，为一条直径，，为圆上两点且弦长为，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知在中，在边上，平分，，，．
求；
求的面积．
本小题分
已知为等差数列，．
求的通项公式；
若为的前项和，求．
本小题分
在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，，平面底面，．
证明：；
求二面角的正弦值．
本小题分
已知椭圆，椭圆上的点到两焦点的距离和为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
过点作直线交椭圆于，两点，点为点关于轴的对称点，求面积的最大值．
本小题分
小明和小红进行抛掷硬币比赛，规定小明和小红每人抛次．小明得分规则为每连续抛掷次结果相同则得分规定连续抛掷结果不同不得分，如正反正反正反不得分，正正反正反反得分，小红每抛掷一次正面结果则得分，得分高者获胜．
求小红得分的概率；
求小明得分的分布列和期望，并比较两人谁获胜的概率大？
本小题分
已知．
当时，求的单调性；
若恒大于，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
解：，
，
．
故选C．

2.【答案】
【解析】
解：，
，
解得，
故选D．

3.【答案】
【解析】
解：设，
，
，
即，
即，
即，
故，
故选A．

4.【答案】
【解析】
解：，，
，解得，
．
故选B．

5.【答案】
【解析】
解：因为，
可得，
可得，
解得，因为，所以，
所以，
所以．
故选C．

6.【答案】
【解析】
解：设，，
因为，且在上先减后增，
当时，函数取得最小值，
又，，
所以，
则
故选D．

7.【答案】
【解析】
解：，
，；
又，
，又，均为正数，
，，
．
故选A．

8.【答案】
【解析】
解：双曲线：上存在、、、四点，使得四边形为正方形，且原点为正方形中心，为双曲线右顶点，在第一象限，
可设，，，
，可得，可得，
可得，解得，
在双曲线上，所以，可得，
所以，
所以．
故选C．

9.【答案】
【解析】
解：对于，当时，命题不成立，故错误；
对于，当，，时，满足，但不满足三个数，，成等比数列，故充分性不满足，故错误；
对于，当，均为零向量时，，共线，但存在无数个实数，使，故错误；
对于，命题：时，，为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得命题的否定为：：时，，故正确．
故选ABC．

10.【答案】
【解析】
解：由于时，，并且满足，
则函数的图象关于对称．
由于，所以，
故，
故，
故函数的最小正周期为．
根据，知函数的图象关于对称．
由于时，，故，故A正确，
由于函数的最小正周期为，故B错误；
由函数的图象关于对称，易知的图象不关于对称，故C错误；
根据函数图象关于对称，且函数图象关于对称，知函数图象关于对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于对称，故D正确．
故选AD．

11.【答案】
【解析】
解：对选项，由正方体的几何性质易知，，且，
平面，平面，
平面，又平面，
平面平面，选项正确；
对选项，三棱锥的体积
，选项错误；
对选项，几何体外接球的直径即为长方体的体对角线长，
，，
该几何体外接球的体积为，
选项错误；
对选项，，又，且平面，
上底面内，
上底面内的轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆弧，
同理可得上面小正方体的后侧面、右侧面内，的轨迹有，，且长度都与圆弧的弧长相同，
同理下面小正方体内，的轨迹也有对称的长度与弧长度相同的三段弧，，，
点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为，选项正确．
故选AD．

12.【答案】
【解析】
解：对于，把方程中的与互换，方程不变，可得星形线关于对称，故A正确；
对于，曲线所围成的区域面积为，而，
即星形线图象围成的区域在曲线所围成的区域内部，
星形线图象围成的面积小于，故B正确；
由，得，当且仅当时等号成立，
即星形线上的点到轴，轴距离乘积的最大值为，故C错误；
，当且仅当时取等号，
即星形线上的点到原点距离的最小值为，故D错误．
故选AB．

13.【答案】
【解析】
解：根据题意，先将四卷不同的毛泽东选集分为组，有种分组方法，
再将分好的组分配给三名同学，有种情况，
则一共有种分发方法；
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
解：，则，
因为随机变量服从正态分布，且，即：，
所以，所以，，即，
所以．
所以．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
解：，，
令，则，在上为增函数，
又，，存在唯一，使得，
即唯一的极值点，，，
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
解：如图，由弦长为，可得，
不妨设，，，，
则，，
故答案为：

17.【答案】解：因为在中，在边上，平分，，，，
由角平分线定理可知，，
设，，
因为，
所以，
即，
所以，
解得，
所以，
所以；
由可知，所以，
所以，
所以．
18.【答案】解：．
，，，，，
，
；
当时，满足上式，
所以；
由可得，
．
19.【答案】证明：取中点，连接，，如图所示：
，，是等腰直角三角形，
，，且，
平面底面，平面底面，平面，
平面，
平面，
，
，
，
，符合勾股定理，
，
，，平面，
平面，
平面，
．
解：由知，可以建立分别以，，为，，轴的空间直角坐标系，
则，，，，
又斜三棱柱中，，
，
，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
平面的法向量，
设平面的法向量，
则，令，则，，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则，．
所以，
故二面角的正弦值为．
20.【答案】解：椭圆上的点到两焦点的距离和为，，，
点在椭圆上．，，，
椭圆的标准方程为；
由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，消去得，
设，，
，解得，
，，
，
令，，
所以当时，面积最大，最大值为．
21.【答案】解：设小红得分为事件，
她需要抛掷次正面向上，
则；
设小明得分为，
时，正反正反正反或者反正反正反正，此时；
时，只有一个连续两次，此时；
时，一个三次或者两个两次，此时；
时，一个三次一个两次或者个两次，此时；
时，两个三次或者一个四次，此时；
时，一个四次一个两次，此时；
时，一个五次，此时；
时，一个六次，此时；
所以小明得分的分布列为：
；
设小红得分为，则服从二项分布，得到；
因为，
所以小明获胜概率大．
22.【答案】解：当时，
．
，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，的单调减区间为，单调增区间为；
要使有意义，则，且，
恒大于，即恒成立，
则，可得，
函数为增函数，，即，
令，
则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
的最大值为，可得，则．
的取值范围是．