抛物线填空小题8类练习
一.基本量运算
1．已知抛物线的顶点为原点，准线为，则抛物线的方程为_________．
2．若抛物线的顶点在原点，准线与其平行线的距离为，则抛物线的方程为______．
3．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为________．
二.定义转化
4．若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________．
5．已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则________.
三.距离和最值
6．已知抛物线：的焦点为，点在上，若点，则的最小值为______.
7．已知抛物线的焦点是F，点A，若抛物线上存在一点M使得最小，则M点的横坐标为______.
四.重心等特殊点求和
8．设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，若点是的重心，则__________.
9．已知是抛物线上不同的点，且，若，则________.
五.半弦间关系
10．设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，若,则 ____________．
11．如图,点是以为焦点的抛物线上一点,若,则____.
12．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点M，N为抛物线上的一点，且满足，则______．
六.中点弦问题
13．若点是抛物线的弦的中点，则弦的长为_______
14．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B满足，则弦AB中点到准线的距离为_____________．
15．已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
16．已知抛物的准线方程为，焦点为F，准线与x轴的交点为A，B为抛物线C上一点，且满足，则点F到的距离为___________.
七.垂直关系应用
17．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过E上一点A作l的垂线，垂足为M，线段AF的中点为N，若，则___________.
18．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为A，x轴上一点，满足，则的面积为______．
19．设F为抛物线C：的焦点，直线l：，点A为C上任意一点，过点A作于P，则_________．
八.斜率相关
20．已知抛物线C：y2＝4x，直线l交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1 k2＝﹣2，则△AOB面积的最小值为_____．
21．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为________．抛物线填空小题8类练习参考答案：
1．
【分析】根据题意设出抛物线的标准方程求解即可．
【详解】解：由题意设抛物线的方程为，
，
，
∴ 抛物线的标准方程为．
故答案为：．
2．或
【分析】首先求出抛物线的准线方程，即可求出抛物线方程.
【详解】解：因为抛物线的准线与其平行线的距离为，所以抛物线的准线为或，
当准线为时抛物线方程为，
当准线为时抛物线方程为.
故答案为：或
3．
【分析】设点的横坐标为，根据抛物线的定义即可求解.
【详解】设点的横坐标为，抛物线的焦点，
又因为，由抛物线的定义可知：，
所以，
故答案为：.
4．5
【分析】先把点的坐标代入抛物线方程中求出，再由抛物线的定义可求得的值
【详解】由为抛物线上一点，得，可得，
则．
故答案为：5
5．
【解析】根据焦半径公式可得：，结合抛物线方程求解出的值.
【详解】由抛物线的焦半径公式可知：，所以，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
6．##3.5
【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【详解】记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.
故答案为：.
7．##0.5
【分析】求出抛物线的焦点及准线，利用抛物线定义结合几何图形推理作答.
【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A作于点N，交抛物线于M，连MF，如图，
在抛物线上取点，过作于，连接，有，
则有，当且仅当点与M重合时取等号，
因此，此时点M的纵坐标为2，则其横坐标，
所以M点的横坐标为.
故答案为：
8．6
【分析】由F点为三角形的重心，用重心坐标公式可得三点横坐标之和，再利用抛物线的定义即可求得的值.
【详解】因为为抛物线的焦点，则，准线方程为，设，如图所示，
因为为三角形的重心，则重心坐标为，即，所以，
因为为该抛物线上不同的三点，分别过作准线的垂线，垂足分别为为，则由抛物线的定义可得，
，,，所以.
故答案为：6
【点睛】在抛物线中与焦半径有关的题目，都可以利用定义转换为点到准线的距离，从而简化运算.
9．20
【分析】设的纵坐标分别为，由向量的和为零向量可得，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，从而可求得结果
【详解】设的纵坐标分别为，
由抛物线，可得准线方程为，
因为，
所以，
所以，
由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以
，
故答案为：20
10．12
【详解】分析：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，在直角三角形中，求得，进而得直线的斜率为，所以直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，即可求得答案．
详解：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，
设，则，
因为，所以，
在直角三角形中，，,
所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
将其代入抛物线的方程可得，解得，
所以点，又由，所以
所以．
点睛：本题主要考查了主要了直线与抛物线的位置关系的应用问题，同时涉及到共线向量和解三角形的知识，解答本题的关键是利用抛物线的定义作出直角三角形，确定直线的斜率，得出直线的方程，着重考查了数形结合思想和推理与运算能力．
11．
【分析】利用锐角三角函数及抛物线的定义，结合点在抛物线上即可求解.
【详解】由，得，即，所以抛物线的焦点坐标为，
设点过点作垂直于轴，垂足为，如图所示
在中，因为，所以,即,
所以,，
在中，因为，所以,即,
所以,，
所以，整理，得①
又因为是抛物线上一点
所以②
联立①②，得或 （舍去）
所以，
所以的长为．
故答案为：．
12．
【分析】先过点N作准线，交准线于P，由抛物线的定义得到，再由题意即可求出结果.
【详解】过点N作准线，交准线于P，由抛物线定义知，在中，，，，．
故答案为．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，熟记抛物线的定义，即可求解，属于基础题型.
13．
【解析】设出点的坐标，分别代入抛物线的方程，两式相减，利用中点纵坐标求得直线的斜率，从而求得的方程，最后联立方程组，利用弦长公式，即可求解.
【详解】设，代入抛物线，可得，
两式相减，可得，
所以直线的方程为，即，
代入抛物线的方程得，则，
则，
即弦的长为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中涉及到曲线的弦的中点和斜率时，可采用“点差法”求解，得出直线的方程式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
14．
【分析】令，，，由得出，再由在抛物线上，求出，进而由抛物线的性质得出答案.
【详解】令，，其中点，，由得
，故
，两式相减得
故，
即，又，，得
，中点到抛物线准线距离．
故答案为：
15．
【详解】
设,，，由抛物线的定义知，
中，，，
直线方程为
与抛物线方程联立消得
所以中点到准线距离为
16．
【分析】由题知：，求得抛物线方程为：，利用抛物线的性质以及三角函数即可求出F到的距离.
【详解】解：已知抛物线的准线方程为，
则，，
抛物线方程为：，
，
作准线，交于点Q，由抛物线的性质得：，
，
设，则，
设F到的距离为d，
则.
故答案为：.
17．4
【分析】根据抛物线的定义可得△AMF为等边三角形，进而求得即可
【详解】如图，由抛物线定义可知，又因为是AF的中垂线，所以△AMF为等边三角形，所以.因为，所以，即.
故答案为：4
18．
【分析】由得，由抛物线定义得，结合几何性质可得，即可求得，则的面积为
【详解】由题意得，焦点为，准线为，由得，
由抛物线定义得，故，代入抛物线方程得，故的面积为.
故答案为：
19．3.
【分析】设点坐标为，利用抛物线的焦半径公式可得，由点到直线的距离公式可得，代入即可得解.
【详解】由可得焦点坐标为，准线方程为，设点坐标为，由抛物线的定义可得，
因为过点A作于P，可得，
所以．
故答案为：.
20．4
【分析】由题意可设直线AB的方程为： x＝my+b与抛物线方程联立可得根与系数的关系、利用斜率公式得出直线AB过定点，再利用三角形的面积计算公式即可得出结论.
【详解】由题意可设直线AB的方程为：x＝my+b．
联立，化为y2﹣4my﹣4b＝0，
∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b．
∵直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，k1 k2＝﹣2．
∴2．
∴y1y2＝﹣8，
∴﹣4b＝﹣8，
∴b＝2．
因此直线AB过定点M（2，0）．
∴△AOB面积S|y1﹣y2|，
因此当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线相交问题，斜率公式，三角形面积计算公式，考查学生的推理和计算能力，是中档题.
21．0
【分析】设过的直线交抛物线于，，，，，
联立方程组，利用韦达定理可得.
【详解】设过的直线交抛物线于，，，，，
联立方程组，得：，
于是，有：，，
，
又，
.
故答案为：０
