5.1 任意角和弧度制（同步练习）答案
一、单选题
1、67°30′化为弧度是( A )
A． B．
C． D．
2、下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
3、已知α是第一象限角，那么是( D )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
4、若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝x上，则角α的取值集合是( C )
A． B．
C． D．
5、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为( A )
A．120 B．240
C．360 D．480
6、集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )
7、若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( D )
A.
B.
C.
D.
8、(2022·济宁模拟)关于角度，下列说法正确的是( D )
①时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°；②钝角大于锐角；③三角形的内角必是第一或第二象限角；④若α是第三象限角，则是第二或第四象限角．
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
9、给出下列四个命题：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角.
其中正确命题的个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
10、设集合M＝，N＝，则( B )
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
11、如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若AB＝4，则该月牙形图形的面积为( D )
A．4 B．2
C．π D．2
12、中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( B )
A. B.
C.3－ D.－2
二、多选题
13、下列四个命题中正确的是( BCD )
A．－是第二象限角
B．是第三象限角
C．－400°是第四象限角
D．－315°是第一象限角
14、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列说法中不正确的是( ABC )
A．扇形的半径为2或3
B．扇形的半径为1或4
C．圆心角的弧度数是1或2
D．圆心角的弧度数是1或4
15、已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( AC )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
16、(2021·山东新高考模拟)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( ABD )
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
填空题
17、在[－720°，0°]内所有与45°终边相同的角为__－675°和－315°______．
18、终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
19、一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.
四、解答题
20、已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角(正角)为多大时，扇形的周长取得最小值？
解：设扇形的半径为r，弧长为l，周长为y，则y＝l＋2r.
由题意知lr＝25，则l＝，
所以y＝＋2r≥2 ＝20，当且仅当＝2r，即r＝5时，
y取得最小值，最小值为20，此时l＝10，圆心角α＝＝2.
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．
21、(2022·淮北模拟)在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则哪个方案最优？
解：因为△AOB是顶角为120°，即顶角为π，腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长为2×＝，
方案二中扇形的弧长为1×＝；
方案一中扇形的面积为×2×2×＝，方案二中扇形的面积为×1×1×＝.
由此可见，两种方案中利用废料面积相等，方案一切割时间短．因此方案一最优．
22、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
解 (1)因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm，
所以S弓形＝××2－×22×sin ＝cm2.5.1 任意角和弧度制（同步练习）
一、单选题
1、67°30′化为弧度是( )
A． B．
C． D．
2、下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z)
3、已知α是第一象限角，那么是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
4、若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝x上，则角α的取值集合是( )
A． B．
C． D．
5、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为( )
A．120 B．240
C．360 D．480
6、集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
7、若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
8、(2022·济宁模拟)关于角度，下列说法正确的是( )
①时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°；②钝角大于锐角；③三角形的内角必是第一或第二象限角；④若α是第三象限角，则是第二或第四象限角．
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
9、给出下列四个命题：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10、设集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
11、如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若AB＝4，则该月牙形图形的面积为( )
A．4 B．2
C．π D．2
12、中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A. B.
C.3－ D.－2
二、多选题
13、下列四个命题中正确的是( )
A．－是第二象限角
B．是第三象限角
C．－400°是第四象限角
D．－315°是第一象限角
14、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列说法中不正确的是( )
A．扇形的半径为2或3
B．扇形的半径为1或4
C．圆心角的弧度数是1或2
D．圆心角的弧度数是1或4
15、已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
16、(2021·山东新高考模拟)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
填空题
17、在[－720°，0°]内所有与45°终边相同的角为________．
18、终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
19、一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.
四、解答题
20、已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角(正角)为多大时，扇形的周长取得最小值？
21、(2022·淮北模拟)在一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则哪个方案最优？
22、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
