椭圆复习卷参考答案：
1．C
【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为的椭圆．
曲线（且）表示焦点在轴上，长轴长为，
短轴长为，焦距为，离心率为的椭圆．
故选：C.
2．B
【详解】由于，所以点在椭圆内部，
设，由已知，，
，两式相减得，
∴．
故选：B
3．C
【详解】由题意可得，如下图所示：
又因为,根据对称性可得,
可得,解得.
故，故离心率为，
故选：C.
4．D
【详解】由椭圆的定义知，所以，
又，即，
两式相减，得，因为的面积为，
即，所以，解得，所以短轴长为6．
故选:D．
5．C
【详解】依题意，，由得：，而，
于是得，令椭圆半焦距为c，有，如图，
在中，由余弦定理得：，
即，整理得，因此，解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
6．A
【详解】
所以点P的轨迹为以为直径的圆，且该圆在椭圆C的内部，
所以，所以，
所以，即，
所以．
故选：A．
7．A
【详解】依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示．
．
从而．
因此在椭圆中长轴长，所以
短轴长，所以，
，所以，则.
故选：A．
8．D
【详解】根据椭圆的定义可得，，则，因为，则当三点共线时，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
图1
如图1，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大. .
图2
如图2，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大. .
故答案为：.
9．ACD
【详解】因为是等边三角形，则点为椭圆短轴上的顶点，所以，椭圆的焦点可以在轴或轴上，，，，满足条件.
故选：ACD.
10．CD
【详解】当，即时，
方程为，
曲线表示圆心是，半径为的圆，A错误；
若曲线是椭圆，则，解得且，
所以“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错误；
若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
所以“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C正确；
若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D正确.
故选：CD.
11．ACD
【详解】易得，，，
则，椭圆的离心率为，故A正确，B错误；
∵，∴，C正确；
当点P位于短轴的端点时，取得最大值，此时，，故，即的最大值为，D正确．
故选：ACD．
12．BD
【详解】对A，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，
且最大面积为：，故A错误；
对B，由椭圆，得，设，
则，又，则，
所以，故B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，
即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；
对D，由椭圆，所以，又，
所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
13．4
依题意作上图，因为N是 的中点，所以ON是边 的中位线，
即，
由椭圆的标准方程可知， ， ， ；
故答案为：4.
14．
【详解】由题意得：，，，
将代入椭圆方程，，
解得：，不妨设，
则直线方程为，令得：，
故，
直线方程为，令得：，
故，
由题意得：，解得：，
所以.
故答案为：.
15．
【详解】解法一 如图所示，的，∴．
当直线PQ的斜率不存在时，易得，此时，∴；
当直线PQ的斜率为k时，直线PQ的方程为．将代入，并整理得：．
设、，则，．
．
∵点到直线PQ的距离．
则，则，
设，，则，且，
设，设，则，当时，，
∴，则，∴，∴．
综上，当直线PQ垂直于x轴时，的内切圆半径r取得最大值，
∴的内切圆面积的最大值为．
解法二 显然直线PQ的斜率不为0，故可设其方程为，将代入，
并整理得，
设，，则，，
∴，
令．
设，则，则当时，，∵，
∴（当时等号成立），∴的最大值为3．
此时，即r的最大值为．
∴的内切圆面积的最大值为．
故答案为：
16．
【详解】设，，
因为，，，
将代入椭圆方程得，
，
两式相减得：，
，，
则，，
因为直线斜率为，，，
将代入椭圆方程整理得：，
或（舍），
故.
故答案为：
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，又椭圆过点，
所以，所以，
故所求椭圆方程为：.
（2）设的方程为，点，
联立方程组，整理，得，
所以，解得：，
所以，，
则，
解得：.
故所求直线的方程为.
18．(1)；
(2).
【详解】（1）因为关于坐标轴对称，所以必在椭圆上，
有，将点代入椭圆方程得，
∴不在椭圆上
∴，，
即椭圆的方程为：；
（2）点是椭圆的下顶点，设椭圆上的点，
则，即，
所以
，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取到最大值，且最大值为，
故的最大值为.
19．(1)；
(2).
【详解】（1）由在上，则，可得，
所以为，故长轴长为4，离心率为，
故中，且，则，
所以为.
（2）由题意，在中，而，
又，
所以，故，
所以.
20．(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设椭圆C的焦距为，根据题意，有
解得，，．所以C的方程是．
（2）证明：当直线，的斜率存在且都不为0时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，．
联立得：．
因为在椭圆C的内部，所以恒成立，
所以，，
所以
，
同理，将k换成，得，
所以．
当直线，中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，不妨设直线的斜率为0，
则，，此时．
综上所示，为定值．
21．(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由焦距为得，则，故代入点得，，故椭圆的标准方程为；
（2）证明：由题意可知AB斜率不为0，可设直线AB方程为，，
联立，由得①，②，③.
直线PA：，则有，同理有.
由得，代入②③整理得，
若，则直线AB：过点P，不合题意；
若，则直线AB：，此时直线AB过定点，得证.
22．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，解得
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可得左焦点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，
这时直线的方程为，可得MN的中点为，
；
当直线的斜率为0时，则直线与圆无交点；
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
直线的方程为，，联立，
得
∵，∴，∴点到等于点到的距离为，
点到的距离为，所以
，
令，则，.
所以面积的最大值为.椭圆复习卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．曲线与曲线（且）的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
2．若椭圆 的弦中点坐标为， 则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点， ，若的面积为，则的短袖长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．设椭圆：的上顶点为，左 右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为坐标平面上一点，且满足的点P均在椭圆C的内部，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习索描的重要一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60°的直角梯形，设圆柱半径，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
8．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且是等边三角形，则椭圆的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．对于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
11．已知是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则下列结论正确的有( )
A．椭圆的离心率为 B．
C． D．的最大值为
12．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大面积为
B．若直线的斜率为，则
C．存在点P使得
D．的最大值为5
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．椭圆的一个焦点为，M是椭圆上一点，且，N是线段的中点，则的长为___________.
14．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为______
15．已知椭圆的方程为，，分别为椭圆的左、右焦点，线段PQ是椭圆上过点的弦，则内切圆面积的最大值为______．
16．已知椭圆，过椭圆的左焦点且斜率为的直线l与椭圆交于两点（点在点的上方），若有，则椭圆的离心率为________.
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17（本题10分）．已知椭圆C：过点，且离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l方程.
18（本题12分）．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.
19（本题12分）．已知椭圆：过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，为椭圆的两焦点，若点P在椭圆上，且，求的面积.
20（本题12分）．已知分别是椭圆 的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△的面积的最大值是.
(1)求C的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证： 为定值.
21（本题12分）．已知椭圆的焦距为，且经过点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，在椭圆短轴上有两点(不与短轴端点重合)满足，直线分别交椭圆于两点，求证：直线过定点.
22（本题12分）．已知椭圆过点，长轴的长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点，作互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与圆交于两点，为的中点，求面积的最大值.
