人教A版（2019）高中数学必修第二册 强化训练：统计案例（word含解析）

强化训练：统计案例
1．（2019·安徽省舒城中学高二月考（文））有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查.某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5、8、9、9、9，B班5名学生得分为：6、7、8、9、10.
（1）请你判断A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些，并说明你的理由；
（2）求如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率.
2．（2019·兰州市第二十七中学高一期末）某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74
乙班：90　76　86　81　84　87　86　82　85　83
(1)求两个样本的平均数；
(2)求两个样本的方差和标准差；
(3)试分析比较两个班的学习情况．
3．（2019·平遥县第二中学高一月考）某技校开展技能大赛，甲、乙两班各选取5名学生加工某种零件，在4个小时内每名学生加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知甲班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数为21，乙班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数不低于甲班的平均数.
（1）求的值；
（2）分别求出甲、乙两班学生在4个小时内加工的合格零件数的方差和，并由此比较两班学生的加工水平的稳定性.
4．（2019·安徽高二期中（文））大城市往往人口密集，城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用，历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝.改革开放以来，有的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生.2019年的春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度(单位：厘米)，数据如下面的茎叶图：
(1)据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度；
(2)据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况.
5．（2019·福建厦门外国语学校高二期中）某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
6．（2019·陕西高一期末）为选派一名学生参加全市实践活动技能竟赛，A、B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示（单位：mm）
A、B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表；
平均数 方差
A 20 0.016
B 20 s2B
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（Ⅰ）计算s2B，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
（Ⅱ）考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由．
7．（2019·沙雅县第二中学高二期末）某车间名工人年龄数据如表所示：
（1）求这名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这名工人年龄的茎叶图；
（3）求这名工人年龄的方差．
年龄（岁） 工人数（人）
合计
8．（2020·北京高一期末）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；
（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）
9．（2019·永济市涑北中学校高一月考）甲、乙两名技工在相同的条件下生产某种零件，连续6天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如图所示
(1)写出甲、乙的中位数和众数；
(2)计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀.
10．（2019·四川高三期中（文））根据幼儿身心发展的特征，幼儿园通常着重在健康、科学、社会、语言、艺术五大领域对幼儿展开全方位的教育和培养.经调查发现，一个幼儿除了在幼儿园进行五大领域的系统学习之外，还会报一些课外兴趣班.而家长朋友们对于是否额外报这些课外兴趣班的态度也是不一样的.某调查机构对某幼儿园的100名幼儿家长就孩子是否报课外兴趣班的赞同程度进行调查统计，得到家长对幼儿报课外兴趣班赞同度的频数分布表：
赞同度
家长数 2 12 14 28 44
（1）分别计算对幼儿报兴趣班的赞同度不低于的家长比例和对幼儿报兴趣班的赞同度低于的家长比例；
（2）求家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数与方差的估计值.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
11．（2020·江西高二月考（理））某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人次数学考试的成绩，统计结果如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩(分)
乙的成绩(分)
(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适 请说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：
方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.
方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被润汰.
已知学生甲、乙都只会道备选题中的道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大 并说明理由.
12．（2020·陕西高二期末（文））某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了场比赛，他们所有比赛得分的情况如下：
甲：；
乙： .
(1)求甲、乙两名运动员得分的中位数．
(2)分别求甲、乙两名运动员得分的平均数、方差，你认为哪位运动员的成绩更稳定？
13．（2019·广东执信中学高二期中（理））某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：
（1）写出频率分布直方图中的值，并做出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
（2）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为。试比较和的大小
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量
强化训练：统计案例答案
1．（2019·安徽省舒城中学高二月考（文））有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查.某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5、8、9、9、9，B班5名学生得分为：6、7、8、9、10.
（1）请你判断A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些，并说明你的理由；
（2）求如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率.
【答案】（1）班的问卷得分要稳定，见解析；（2）
【解析】（1）B班的问卷得分要稳定一些，理由如下：
，
，班的问卷得分要稳定；
（2）记“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1”为事件M
所有的基本事件分别为：、、、、、、、、、，
共10个.
事件包含的基本事件分别为：，共4个
由于事件符合古典概型，则
2．（2019·兰州市第二十七中学高一期末）某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74
乙班：90　76　86　81　84　87　86　82　85　83
(1)求两个样本的平均数；
(2)求两个样本的方差和标准差；
(3)试分析比较两个班的学习情况．
【答案】（1），；（2），，；（3）乙班的总体学习情况比甲班好
【解析】(1)＝×(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83. 2，
＝×(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84．
(2)＝×[(82－83. 2)2＋(84－83. 2)2＋(85－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(80－83. 2)2＋(91－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(74－83. 2)2]＝26. 36，
＝ [(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13. 2，
则s甲＝≈5. 13，s乙＝≈3. 63．
(3)由于，则甲班比乙班平均水平低．由于，则甲班没有乙班稳定．
所以乙班的总体学习情况比甲班好
3．（2019·平遥县第二中学高一月考）某技校开展技能大赛，甲、乙两班各选取5名学生加工某种零件，在4个小时内每名学生加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知甲班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数为21，乙班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数不低于甲班的平均数.
（1）求的值；
（2）分别求出甲、乙两班学生在4个小时内加工的合格零件数的方差和，并由此比较两班学生的加工水平的稳定性.
【答案】（1）；（2），乙班学生加工水平比甲班稳定.
【解析】（1）甲班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数为21，
即，解得m＝8．
乙班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数不低于甲班的平均数，
即，又0,解得n＝9．
（2）甲班的方差为，
由（1）可得，
∴乙班的方差为．
∵方差，
∴两班加工的合格零件数的平均数相同，乙班更稳定些．
4．（2019·安徽高二期中（文））大城市往往人口密集，城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用，历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝.改革开放以来，有的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生.2019年的春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度(单位：厘米)，数据如下面的茎叶图：
(1)据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度；
(2)据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况.
【答案】（1）27（厘米），30（厘米）；（2）甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐
【解析】（1）甲种树苗的平均高度为（厘米）.
乙种树苗的平均高度为（厘米）.
（2）甲种树苗的方差为：，
乙种树苗的方差为：，
故甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐.
5．（2019·福建厦门外国语学校高二期中）某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
【答案】(1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) ；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析
【解析】（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人
（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
（3），
，
因，所以第二位同学的实验更稳定.
6．（2019·陕西高一期末）为选派一名学生参加全市实践活动技能竟赛，A、B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示（单位：mm）
A、B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表；
平均数 方差
A 20 0.016
B 20 s2B
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（Ⅰ）计算s2B，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
（Ⅱ）考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由．
【答案】（Ⅰ）0.008，B的成绩好些（Ⅱ）派A去参赛较合适
【解析】（Ⅰ）由题意，根据表中的数据，利用方差的计算公式，可得
S2B
∴S2A＞S2B，∴在平均数相同的情况下，B的波动较小，
∴B的成绩好些．
（Ⅱ）从图中折线趋势可知：
尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，
∴派A去参赛较合适．
7．（2019·沙雅县第二中学高二期末）某车间名工人年龄数据如表所示：
（1）求这名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这名工人年龄的茎叶图；
（3）求这名工人年龄的方差．
年龄（岁） 工人数（人）
合计
【答案】（1）众数为30，极差为21；（2）见解析；（3）方差,12.6
【解析】（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为；
（2）茎叶图如下：
（3）年龄的平均数为，
故这20名工人年龄的方差为
.
8．（2020·北京高一期末）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；
（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）
【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）；（Ⅲ）甲
【解析】(I)由题意；
(II)记事件A为甲中射击一次中靶环数大于7，则，
甲射击2次，恰有1次中靶数大于7的概率为：
；
(III)甲稳定．
9．（2019·永济市涑北中学校高一月考）甲、乙两名技工在相同的条件下生产某种零件，连续6天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如图所示
(1)写出甲、乙的中位数和众数；
(2)计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀.
【答案】（1）见解析（2）甲更为优秀.
【解析】解：（1）甲的中位数为，众数为20；乙的中位数为，众数为23.
（2），
，
，
，
由于，且，所以甲更为优秀.
10．（2019·四川高三期中（文））根据幼儿身心发展的特征，幼儿园通常着重在健康、科学、社会、语言、艺术五大领域对幼儿展开全方位的教育和培养.经调查发现，一个幼儿除了在幼儿园进行五大领域的系统学习之外，还会报一些课外兴趣班.而家长朋友们对于是否额外报这些课外兴趣班的态度也是不一样的.某调查机构对某幼儿园的100名幼儿家长就孩子是否报课外兴趣班的赞同程度进行调查统计，得到家长对幼儿报课外兴趣班赞同度的频数分布表：
赞同度
家长数 2 12 14 28 44
（1）分别计算对幼儿报兴趣班的赞同度不低于的家长比例和对幼儿报兴趣班的赞同度低于的家长比例；
（2）求家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数与方差的估计值.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
【答案】（1），； （2），.
【解析】（1）根据家长对幼儿报课外兴趣班赞同度的频数分布表，
对幼儿报兴趣班的赞同度不低于的家长比例为；
对幼儿报兴趣班的赞同度低于的家长比例为.
（2）由题意，家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数为
，
其方差为
，
所以家长对幼儿报兴趣班的赞同度的平均数与方差的估计值分别为0.70和0.0496.
11．（2020·江西高二月考（理））某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人次数学考试的成绩，统计结果如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩(分)
乙的成绩(分)
(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适 请说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：
方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.
方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被润汰.
已知学生甲、乙都只会道备选题中的道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大 并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）选方案二
【解析】(1)解法一：甲的平均成绩为；
乙的平均成绩为，
甲的成绩方差；
乙的成绩方差为；
由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适.
解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得以上(含分)的概率，乙获得分以上(含分)的概率
因为故派甲参赛比较合适，
(2)道备选题中学生乙会的道分别记为，，，不会的道分别记为，.
方案一：学生乙从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，共5种，抽中会的备选题的结果有，，，共3种.
所以学生乙可参加复赛的概率.
方案二：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有
，，，，，，，，，，共种，
抽中至少道会的备选题的结果有：
，，，，，，共种，
所以学生乙可参加复赛的概率
因为，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.
12．（2020·陕西高二期末（文））某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了场比赛，他们所有比赛得分的情况如下：
甲：；
乙： .
(1)求甲、乙两名运动员得分的中位数．
(2)分别求甲、乙两名运动员得分的平均数、方差，你认为哪位运动员的成绩更稳定？
【答案】(1) 甲中位数是，乙中位数是；(2)，，，，甲运动员的成绩更稳定．
【解析】（1）将甲运动员得分的数据由大到小排列：.
将乙运动员得分的数据由大到小排列：.
甲运动员得分的中位数是，乙运动员得分的中位数是.
（2），
，
，
，
，
甲运动员的成绩更稳定．
13．（2019·广东执信中学高二期中（理））某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：
（1）写出频率分布直方图中的值，并做出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
（2）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为。试比较和的大小
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量
【答案】(1) ，频率分布直方图见解析；(2) (3)795箱
【解析】（1）由乙种酸奶日销量的频率分布直方图可得：
根据题中数据可得，甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如下：
（2）解法一：
记甲乙两种酸奶日销售量的平均数分别为，，
由频率分布直方图可得：
，
，
所以
；
；
所以；
解法二：
比较两种酸奶的频率分布直方图，数据越集中，则方差越小，由频率分布直方图可得，
甲酸奶对应的数据更集中，故甲的方差小于乙的方差；
即；
（3）乙种酸奶的平均日销售量为：
（箱）
乙种酸奶未来一个月的销售量为（箱）