1.1.1锐角三角形函数 教案
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1.1.1锐角三角形函数 教学设计
课题 1.1.1锐角三角形函数 单元 第1 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。了解计算一个锐角的正切值的过程、方法；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
核心素养分析 1.通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。2.使学生亲身经历用正切函数计算坡度的过程，感受数学实用性，培养学生积极情感。3.领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性。
学习目标 1.理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；2.能够根据正切的概念进行简单的计算；3.能运用正切、坡度解决问题。
重点 理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
难点 能运用正切、坡度解决问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系．从实际需要看，要描述埃及金字塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习“锐角的三角函数”——锐角的正弦、余弦、正切．而在生活中，我们还会遇到类似梯子陡的问题，今天开始我们将一起学习有关三角函数。观察与思考：问题：图中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？（1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？ 高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断： 水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡.（2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？ 水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断： 梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.倾斜角越大，梯子越陡.【合作探究】如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度； 而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗 （1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2（2） 和有什么关系 =（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢 == 由此你得出什么结论 结论：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定. 思考自议结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握正切函数的定义与相关概念。 讲授知识，让学生掌掌握理解和掌握正切函数额定义与相关概念。
讲授新课 提炼概念直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数——正切函数 在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即tanA= 注意：tan A 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．以后学的 sin A， cos A 也是这样.1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号（tan A不是tan乘以A）；3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）.4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.观察 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？结论：tan A的值越大，梯子越陡.典例精讲【例1】下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡 解:甲梯中,tan α= 乙梯中,tanβ= ∵tanβ＞tanα，∴乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？解：可以等于1，此时为等腰直角三角形； 可以大于1，当锐角的对边比邻边长的时候. 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i (即tanα)就是: 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 借助例题，认真思考，将新课与扩展知识相结合起来。 巩固加深本节课的教学内容，同时借助扩展，扩展学生的知识面。
课堂练习 四、巩固训练1、 如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t的值是 ( )A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 C2、比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )A． tan 70°＜tan 50°＜tan 20°B． tan 50°＜tan 20°＜tan 70°C． tan 20°＜tan 50°＜tan 70°D． tan 20°＜tan 70°＜tan 50°C3、在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是( )A. 2 B. C. D. B4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则tan A＝________．5.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: tanB.6.如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是多少？
课堂小结 课堂小结
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1.1.1锐角三角形函数 教学设计
课题 1.1.1锐角三角形函数 单元 第1 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。了解计算一个锐角的正切值的过程、方法；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
核心素养分析 1.通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。2.使学生亲身经历用正切函数计算坡度的过程，感受数学实用性，培养学生积极情感。3.领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性。
学习目标 1.理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；2.能够根据正切的概念进行简单的计算；3.能运用正切、坡度解决问题。
重点 理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
难点 能运用正切、坡度解决问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系．从实际需要看，要描述埃及金字塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习“锐角的三角函数”——锐角的正弦、余弦、正切．而在生活中，我们还会遇到类似梯子陡的问题，今天开始我们将一起学习有关三角函数。观察与思考：问题：图中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？（1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？ 高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断： 水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡.（2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？ 水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断： 梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.倾斜角越大，梯子越陡.【合作探究】如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度； 而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗 （1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2（2） 和有什么关系 =（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢 == 由此你得出什么结论 结论：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定. 思考自议结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握正切函数的定义与相关概念。 讲授知识，让学生掌掌握理解和掌握正切函数额定义与相关概念。
讲授新课 提炼概念直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数——正切函数 在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即tanA= 注意：tan A 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．以后学的 sin A， cos A 也是这样.1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号（tan A不是tan乘以A）；3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）.4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.观察 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？结论：tan A的值越大，梯子越陡.典例精讲【例1】下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡 解:甲梯中,tan α= 乙梯中,tanβ= ∵tanβ＞tanα，∴乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？解：可以等于1，此时为等腰直角三角形； 可以大于1，当锐角的对边比邻边长的时候. 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i (即tanα)就是: 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比)，即坡度等于坡角的正切. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 借助例题，认真思考，将新课与扩展知识相结合起来。 巩固加深本节课的教学内容，同时借助扩展，扩展学生的知识面。
课堂练习 四、巩固训练1、 如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t的值是 ( )A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 C2、比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )A． tan 70°＜tan 50°＜tan 20°B． tan 50°＜tan 20°＜tan 70°C． tan 20°＜tan 50°＜tan 70°D． tan 20°＜tan 70°＜tan 50°C3、在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是( )A. 2 B. C. D. B4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则tan A＝________．5.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: tanB.6.如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是多少？
课堂小结 课堂小结
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