7.1 为什么要证明 课件 (共25张PPT)

(共25张PPT)
北师版数学八年级上册
7.1 为什么要证明
第七章 平行线的证明
1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理．（重点）
2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．（难点）
现实生活中，我们常用观察的方法来了解世界.数学学习中，我们也用观察、实验、归纳的方法得出了很多结论.通过观察、度量、猜测得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？
感受视错觉图
“直观”可靠吗
是静还是动？
1、直观是重要的,但它有时也会骗人.观察下列图形,回答问题:
观察与思考
a
b
线段a,b长短相等吗？
图中四边形是正方形吗？
新知
实验验证
a
b
c
d
a,b,c中的哪条线段与线段d在同一条直线上？
观察与思考
新知
2、请先观察，再用直尺验证一下。
a = b
图中两条线段a与线段b的长度相等吗
结论：直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
实验验证
3、下面图形中的线条是平行线吗？
观察与思考
新知
实验验证
4、请观察下图，两图中的中间圆大小一样吗？
结论：数学的结论必须经过严格的论证
观察与思考
新知
实验验证
所有的数学结论都可以用实验的方法来验证吗？
观察与思考
实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.
例 如图,把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流.
典例探究
解：设地球半径是R，铁丝均匀地离开地面的高度为h，由圆的周长公式有：
赤道
铁丝
铁丝半径
赤道半径R
间隙h
铁丝与赤道的半径之差
2π(R+h)=2πR+1
2πR+2πh=2πR+1
2πh= 1
h≈0.17米=17 厘米.
∴拳头能通过.
铁丝的长=赤道的周长+1
等量关系
h=
间隙=铁丝的半径-赤道的半径
推理论证
你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数？
n 0 1 2 3 4 5
n2 -n+11 11
11
13
17
23
31
典例探究
做一做
（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0,1,2,3,4,5试一试.
n 6 7 8 9 10 11
n2 -n+11 41
53
67
83
101
121
继续找数值代入，验证你的结论.
当n=11时,n2-n+11的值为121=112，所以，对于所有自然数n,n2-n+11的值未必都是质数.
112
结论：少数特例的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；
推理论证
如图7-4，在 △ ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE. DE与BC有怎样的位置关系和数量关系 请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的 △ ABC都成立吗
结论：图形的性质并不都是通过测量得出的；往往缺乏说服力.
做一做
典例探究
位置关系：
数量关系：
你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
量角器、直尺、三角板
解：如图.
延长DE至F，使EF=DE.连接FC.
∵DE=EF AE=EC ∠AED=∠FEC
∴△ADE≌△CFE（SAS）
∴AD=DB=FC ∠ADE=∠F
∴AD//FC AB//FC
综上可知BD//FC BD=FC
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DE= BC， DE//BC
结论：严格的推理，才能揭示问题的本质.
典例探究
F
//
//
//
//
/
/
/
实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.
有下列三个说法：
①若α是无理数，则α2 是有理数；
②若α，β 是不相等的无理数，则αβ+α-β 是无理数；
③若α，β 是不相等的无理数，则 是无理数.
其中正确的个数是(　　)
A. 0 B.1 C.2 D.3
A
举出反例
典例探究
做一做
导引：紧扣题目中的条件举出反例验证结论是否正确.
解：当α =π 时，α2=π2 是无理数，所以①不对；
当α =1+ ，β =-1+ 时，则α β +α - β =3 是有理数，所以②不对；
当α =2 ，β = 时，则 = 是有理数，所以 ③不对
P163，当n为正整数时，n2+3n+1的值总是质数吗？
解：当n为1，2，3，4，5时，
n2+3n+1的值分别为5，7，19，29，41，
跟踪练习
但是当n等于6时， n2+3n+1的值为55，55是合数
∴当n为正整数时，n2+3n+1的值不总是质数。
1.下列说法正确的是（ ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大关系
C．对于自然数n，n2＋n＋37 一定是质数
D．有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
课堂练习
【解析】A，B显然错误；
对于C，当n＝1时，n2＋n＋37＝39＝3×13，是合数，故C错误；
对于D，若每个筐中苹果都少于2个，那么最多只能放9个，至少有一个苹果无法放进筐中，所以把10个苹果放进9个筐中，至少有一个筐中的苹果不少于2个．
D
2、下列推理正确的是(　　)
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟明年比今年长大了1岁
B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角
B
课堂练习
3.下列结论中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
B
4.下列判断正确的是（ ）
A．一个中学学校里不可能有同月同日生的同学
B．若a＞b，则a2＞b2
C．不论a为何值，总有a2＞0
D．任何一个整数平方后的末位数字都不会是2或3
D
课堂练习
02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，可得任何整数平方后的末位数字都不会是2或3.故D选项正确．
【解析】一个中学里可能有同月同日生的同学；
当a＝－1，b＝－2时，a＞b，但a2＜b2；
当a＝0时，a2＝0，A，B，C选项错误；
为什么要证明
实验验证
举出反例
推理证明
2
1
3
数学结论必须经过严格的论证
论证方法
费马数
历史上很多数学家都想找到求质数的公式，1640年，数学家费马验证了，当n＝0、1、2、3、4时，
式子 的值为3、5、17、257、65537都是质数，于是他断言“对于所有的自然数n， 都是质数”由于费马在数学界的威望,在很长一段时间里，没有人怀疑这一结论的正确性，并把这类数称为费马数。
费马(1601～1665)法国
材料阅读
费马的失误
费马(1601～1665)法国
欧拉（1707-1783 ）瑞士
1732年，数学家欧拉指出，当n＝5时
从而否定了费马的结论。
更有意思的是，从第6个费马数开始,数学家们在费马数中再也没有发现一个新的质数，全都是合数.
有人甚至给出一个新的猜想：
当　　　，费马数全都是合数！！
材料阅读
这个故事告诉我们：
1、 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度。
2、没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确。
3、要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法。