【中学教材全解】2013-2014学年高二数学（苏教版选修2-2） 第1章 导数及其应用 本章练测（含详细解析）

第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
160分
一、填空题（每小题5分，共70分）
1.函数的导数是 .
2.函数的一个单调递增区间是 .
3.已知直线与抛物线相切，则
4．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为 .
5.曲线y=－2－4x+2在点（1，－3）处的切线方程是 .
6.函数y=x+2cosx在[0,上取得最大值时，x的值为 .
7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则= .
8．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.
9．函数f(x)的定义域为开区间（a,b），导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内的极值点的个数是 .
10．已知，当时，
.
11．对正整数，设曲线在x＝2处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 .
12.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a、b、c的大小关系 是 .
13. 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，，且 g(－3)＝0，则不等式的解集是 .
14.已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为 .
二、解答题（共90分）
15．（14分）求下列函数的导数：
(1)y=5－4；
(2)y=3+xcos x；
(3)y=tan x；
(4)y=x；
(5)y=lg x－.
16．（14分）设函数分别在处取得极小值、极大值.xOy平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.
求:(1)求点的坐标；
(2)求动点的轨迹方程.
17．（14分）已知函数(x>0)在x=1处取得极值-3-c，其中为常数.
（1）试确定的值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意＞0，不等式恒成立，求的取值范围.
18．（16分）已知函数.
(1)若，求曲线在处切线的 斜率；
(2)求的单调区间；
(3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
19．（16分）已知函数f(x)=aln x++1．
（1）当a=－时，求f(x)在区间[，e]上的最值；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
20．（16分）已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（e为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
第1章导数及其应用（苏教版选修2-2）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13．
14．
二、解答题
15.
16．
17.
18.
19.
20.

第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）
答案
一、填空题
1. 解析：;
或.
2．（ 解析：，.
或
∴ 函数的单调递增区间是（.
3. 解析：设切点.因为错误！未指定书签。，所以.
由题意知=0， ①
， ②
， ③
由①②③解得．
4.0 解析：可以设f(x)＝－2＋c，其中c为常数．由于f(x)过(0，－5)，所以f(x)＝－2－5，所以c＝ －5.由f′(x)＝0，得极值点为x＝0或x＝±1.当x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.
5.5x+y－2=0 解析：∵ y′=3－4x－4，∴ 曲线在点（1，－3）处的切线斜率k=y′=－5，∴ 切线方程为y+3=－5(x－1)，即5x+y－2=0.
6． 解析：y′=1－2sin x，令1－2sin x=0，得sin x=.∵ x∈[0,]，∴ x=.当x∈[0,)时，y′＞0；当x∈[,]时，y′≤0，∴ f().
7.1 解析：，由，得的两个解，则＝1.
8．2 cm,1 cm,1.5 cm 解析：设长方体的宽为（m），则长为2(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令，解得=0（舍去）或=1，因此=1.
当0＜＜1时，；当1＜＜时，，
故在=1处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值.
因此体积最大时长方体的长为2 cm，宽为1 cm，高为1.5 cm.
9．3 解析：根据导函数图象，导数值异号的分界点有3个，故有3个极值点.
10． 解析：
11. 解析：，，令=0，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和.
12. 解析：设g(x)＝xf(x)，由y＝f(x)为R上的奇函数，可知g(x)为R上的偶函数．
而g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x).
由已知得，当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增.
由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为＝g(－2)＝g(2)，
且，故.
13.(－∞，－3)∪(0，3) 解析：因为
，则在x＜0时递增.
又因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以为奇函数，关于原点对称，所以在x＞0时也是增函数．
因为
所以当时，可转化为，即；
当时，可转化为，即.
14.f(－a2)f(－1) 解析：由题意可得.
由＝(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝.
当时，为增函数；
当时，为减函数；
当x＞时，为增函数.
所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值.
又因为－a2≤0，故f(－a2)≤ f(－1)．
二、解答题
15．解：(1)y′=－12.
(2)y′=(3+xcos x)′=6x+cos x－xsin x.
(3)y′=()′==.
(4)y′=+ln x.
(5)y′=+.
16.解: (1)令解得.
当时,； 当时, ,当时,.
所以函数在处取得极小值,在处取得极大值,故,.
所以点A、B的坐标为.
(2) 设，，,
，所以.又PQ的中点在上，所以,
消去得.
17.解：（1）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意知，因此，解得．
（2）由（1）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，的单调递增区间为．
（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，
要使（）恒成立，只需．
即，从而，解得或．
所以的取值范围为.
18.解：(1)由已知，.
故曲线在处切线的斜率为.
(2).
①当时，由于，故，，
所以函数的单调递增区间为.
②当时，由，得.
在区间上，；在区间上，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为错误！未指定书签。.
(3)由已知，转化为，.
由(2)知，当时，函数在上单调递增，值域为R，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，解得.
19.解:（1）当a=－时，f(x)=－ln x++1，
∴ f′(x)=+=．
∵ f(x)的定义域为(0,+∞)，由f′(x)=0得x=1．
∴ f(x)在区间[,e]上的最值只可能在f(1), f(),f(e)取到，而f(1)=,f()=+,f(e)=+，
∴ =f(e)=+,=f(1)=．
（2）f′(x)=，x∈(0,+∞)．
①当a+1≤0，即a≤－1时，f′(x)<0,∴ f(x)在(0,+∞)上单调递减；
②当a≥0时，f′(x)>0,∴ f(x)在(0,+∞)上单调递增；
③当－10,得>,∴ x>或x<－（舍去）,
∴ f(x)在(,+∞)上单调递增，在(0,)上单调递减.
综上，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当－1当a≤－1时，f(x)在(0,+∞)上单调递减.
20．解：（1）方法一：∵ ，其定义域为，
∴ ．
∵是函数的极值点，∴ ，即．
∵ ，∴ ．
经检验当时，是函数的极值点，
∴ ．　
方法二：∵ ，其定义域为，
∴ ．
令，即，整理，得．
∵ ，
∴ 的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：
—
0
＋
单调递减
极小值
单调递减
依题意，，即，∵ ，∴ ．
（2）对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．
∴ 函数在上是增函数．
∴ ．
∵ ，且，．
且［1，］时，，
∴ 函数在［1，］上是增函数，
∴ .
由≥，得≥.
又，∴≥不合题意．
②当1≤≤时，
若1≤＜，则；
若＜≤，则．
∴ 函数在上是减函数，在上是增函数．
∴ .
由≥，得≥.
又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴ 函数在上是减函数．
∴ .
由≥，得≥，
又，∴ ．
综上所述，的取值范围为．