(共30张PPT)
人教版八年级上册
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
教学目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
新知导入
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
新知讲解
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、
靠、
过、
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0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
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0 1 2 3 4 5
画.
思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
新知讲解
三角形的高
一
三角形的高的定义
A
从三角形的一个顶点，
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图, 线段AD是BC边上的高.
和垂足的字母.
注意
!
标明垂直的记号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
新知讲解
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
新知讲解
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3) 锐角三角形的三条高是在三角
形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示；
新知讲解
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
(2) AC边上的高是 ;
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
新知讲解
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC边上的高呢？
AB边上呢？
BC边上呢？
BF
CE
AD
新知讲解
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于
一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高
不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
典例讲解
例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
完成题单上对应的变式练习1-4
典例讲解
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)
求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
完成题单上对应的变式练习5-6
新知讲解
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线.
三角形的“中线”
B
A
C
A
BE=EC
E
三角形的中线
二
新知讲解
(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的
位置关系
议一议
三条中线，
交于一点
新知讲解
(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？
折一折，画一画，并与同伴交流.
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
要点归纳
完成对应的变式练习7题
新知讲解
问题2：如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系，并证明.
【归纳总结】: 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
例3 在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长AB.
完成对应的变式练习8-11题
新知讲解
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A
B
C
A
D
新知讲解
三角形的角平分线的定义:
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是一条线段.
∠1=∠2
新知讲解
每两列分别准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角
形纸片各一个.
思考：
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
做一做
新知讲解
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的性质
例题讲解
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
例4 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
完成对应的变式练习12题
新知讲解
三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形
的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= BC.
三角形的
角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
知
识
归
纳
课堂总结
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
板书设计
作业布置
我是很长很长的标题
谢谢
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https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 学习题单
要点探究
探究点1：三角形的高
能力回顾：你能过一点画已知直线的垂线吗？
做一做：请在下图中画出△ABC的高线.
典例精析
例1： 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
变式1、如图,线段BE是△ABC的边AC上的高,则∠BEC=______;S△ABC=______
变式2、如图,点D在线段BC上，AC⊥BC,AB=8cm,AD=6cm,AC=4cm，则在ABD中,边BD上的高是_________cm.
变式3、三条高的交点一定在三角形内部的是_________角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
变式4、如图,以AD为高的三角形共有______个.
变式1 变式2 变式4
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
变式5、如图，△ABC的面积可以表示为（ ）
A． B． C． D．
变式6、如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
探究点2：三角形的中线
问题1：在下列任意一个三角形中，画出它的三条中线，观察有什么结论？
问题2：如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系，并证明.
变式7、如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2＿＿，BD=＿＿，AE=＿＿.
典例精析
例3 在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长AB.
变式8、如图，在中，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式9、在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
变式10、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点，连接BD，DE，若△ABC的面积为20，则△DBE的面积是________．
变式11、如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是__．
探究点3：三角形的角平分线
问题1：在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗
问题2：用圆规画出下面三角形的一条角平分线。
问题3：每两列分别准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
思考：
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
结论：三角形的三条角平分线_________________。
例4 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
变式12、已知，如图，在△中，分别是△的高和角平分线，若,;求的度数.
二、课堂小结
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段．
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形的中
线把三角形分为面积相等的两个三角形.
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个
角的顶点与交点的线段．
课堂练习：
1．下列说法正确的是 （ ）
A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2．如右图在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
4.（1） ∵BE是△ABC的角平分线，
∴____ = _____= _____.
（2）∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACB= 2______= 2______.
3题 4题 5题
5.如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F.若，则______．
6.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.
7. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是 △ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
三角形的有关线段
