京改版数学 2022-2023学年八年级上册（北京地区）第十章 分式 综合复习题（含解析）

第十章 分式 综合复习题
一、单选题
1．（2022·北京四中八年级阶段练习）下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
2．（2022·北京昌平·八年级期末）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≠0 C．a＜2 D．a≥2
3．（2022·北京·牛栏山一中实验学校八年级期中）能使分式 的值为 0 的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市第九中学八年级期中）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京房山·八年级期中）如果将分式（x，y均为正数）中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．不改变 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
6．（2022·北京四中八年级阶段练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·北京市顺义区仁和中学八年级期中）下列分式中，最简分式是( )
A． B． C． D．
8．（2022·北京市第九中学八年级期中）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）下列各式中计算正确的是（　　）
A．x+x3＝x4 B．（x﹣4）2＝x8
C．x﹣2 x5＝x3 D．x8÷x2＝x4（x≠0）
10．（2022·北京昌平·八年级期中）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·北京市第二中学朝阳学校八年级阶段练习）请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________．
12．（2022·北京昌平·八年级期中）约分：______，______．
13．（2022·北京昌平·八年级期中）与的最简公分母是___．
14．（2022·北京·牛栏山一中实验学校八年级期中）计算：＝_____．
15．（2022·北京房山·八年级期中）若＝3，则的值为_____．
16．（2022·北京市第九中学八年级期中）方程无解，那么的值为________．
17．（2022·北京朝阳·八年级期末）方程的解为___．
三、解答题
18．（2022·北京市第九中学八年级期中）解分式方程： ．
19．（2022·北京昌平·八年级期末）计算：
20．（2022·北京昌平·八年级期中）计算：．
21．（2022·北京八中八年级期末）（1）先化简再求值：，其中．
（2）解方程：．
22．（2022·北京昌平·八年级期末）若关于x的分式方程的解是正数，当m取最大整数时，求的平方根．
23．（2022·北京西城·八年级期末）（1）如果，那么m的值是 ，n的值是 ；
（2）如果，
①求的值；
②求的值．
24．（2022·北京市第十三中学分校八年级期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
(1)请根据以上信息，写出根分式中的取值范围：______；
(2)已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数的值．
25．（2022·北京一七一中八年级期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为__________．
(2)当时，求的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC ，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
26．（2022·北京·牛栏山一中实验学校八年级期中）列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
27．（2022·北京市第九中学八年级期中）某游乐园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票、验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求游乐园原来平均每分钟接待游客的人数．
28．（2022·北京延庆·八年级期末）列方程解应用题：
第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．北京冬奥会的配套设施“京张高铁”——北京至张家口高速铁路，已经全线通车，全长约175千米．原京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁的平均速度是原京张铁路的5倍，可以提前5小时到达，求京张高铁的平均速度．
参考答案：
1．A
【解析】利用分式定义可得答案．
解：A、的分母含字母，是分式，故此选项符合题意；
B、的分母不含字母，不是分式，是整式，故此选项不合题意；
C、﹣的分母不含字母，不是分式，是整式，故此选项不合题意；
D、的分母不含字母，不是分式，是整式，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
2．A
【解析】根据分式的分母不能为0即可得．
解：由题意得：，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握理解分式的分母不能为0是解题关键．
3．A
【解析】根据分式为的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．
解：要使的值为，
，
解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的值为的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
4．C
【解析】由，令，再逐一通过计算判断各选项，从而可得答案.
解：当，时，
，，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
而 故C符合题意；
．故D不符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查的是利用特值法判断分式的变形，同时考查分式的基本性质，掌握“利用特值法解决选择题或填空题”是解本题的关键.
5．A
【解析】把x与y分别换为3x与3y，化简后判断即可．
根据题意得：，
则分式的值不改变，
故选A．
【点睛】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
6．A
【解析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案．
解：分子分母同时扩大10倍，即原分式，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键．
7．C
【解析】根据最简分式分子、分母中不含有公因式，不能再约分判断即可．
A、分式的分子与分母中的系数34和85有公因式17，可以约分，故A不符合题意；
B、=＝y x，故B不符合题意；
C、分子分母没有公因式，是最简分式，故C符合题意；
D、==，故D不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的概念是解题的关键.分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
8．B
【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值．
解：原式，
故选：B．
【点睛】此题考查分式的乘除法和乘方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．C
【解析】根据同底数幂的乘除法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
解：、不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
、，故本选项错误，不符合题意；
、，故本选项正确，符合题意；
、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是理清指数的变化．
10．B
【解析】模仿题中推导过程进行即可．
由于= x+，则在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边是，矩形的周长是2（x+），当矩形成为正方形时，就有x=，解得x=2，这时矩形的周长2（x+）=8最小，因此x+的最小值是4，所以的最小值是4．
故选：B．
【点睛】本题关键在于理解已知结论的推导过程．
11．（答案不唯一）
【解析】根据要求和分式的定义可写出.
如，，-等等，只要分母不等于0就好.
故答案为：
【点睛】考核知识点：分式的值为0.理解分式的定义是关键.
12．
【解析】根据分式的性质约分即可求解．
解：，
故答案为：，
【点睛】本题考查了约分，掌握分式的性质是解题的关键．
13．
【解析】根据最简公分母的定义求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
与的最简公分母
故答案为：
【点睛】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．
14．
【解析】分式的乘方等于分子分母分别乘方，计算即可得到结果．
解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方法则．
15．
【解析】由，可得，即b+a=3ab，整体代入即可求解.
∵，
∴，即b+a=3ab
∴===.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解决本题的关键．
16．3
【解析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值．
解：，
，
，
，
方程无解，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键．
17．x=-3
【解析】先去分母，然后再求解方程即可．
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
18．原方程无解
【解析】先找出方程的最简公分母，然后方程两边的每一项去乘最简公分母，化为整式方程，再求解，注意分式方程要检验.
方程两边同乘以（x+2）（x-2）得：
（x-2）2-（x+2）（x-2）=16 ，
解得: x=-2，
检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，
所以x=-2是原方程的增根，原方程无解.
【点睛】本题考查了分式方程的解，分式方程的无解条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.
19．
【解析】由题意根据相反数的性质把分母化为一致，进而根据同分母分式的减法进行计算即可.
解：
【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握当分母互为相反数是可以提取负号将分母变成一致进行化简.
20．
【解析】根据分式的乘除法进行计算，注意进行约分．
解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是遇到除法，变为乘法计算，并注意约分..
21．（1），；（2）无解
【解析】（1）根据分式的各运算法则进行化简，再代入计算即可；
（2）根据分式方程的解法进行求解即可．
解：（1）
，
当时，原式；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的增根，
即原方程无解．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
22．±6
【解析】通过解分式方程解出分式方程的解，再确定符合条件的m可取的最大整数解，再计算出此题最后结果即可．
解：解分式方程，得
x=6-m，
∵
∴，即
∵
∵分式方程的解是正数，
∴6-m>0，
∴m<6，
∴m的取值范围是m<6，且
可得m取最大整数5，
当m=5时，
m2+2m+1的平方根为：
=±6．
【点睛】此题考查了对分式方程及不等式的应用能力，关键是能正确求解分式方程与不等式，并根据题意正确确定问题的答案．
23．（1）-1， -6；（2）①；②13
【解析】（1）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较即可求出m和n的值；
（2）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较求出a+b=-2，ab=；
①利用多项式与多形式的乘法法则化简后，把a+b=-2，ab=代入计算；
②先通分，再根据完全平方公式把分子变形，然后把a+b=-2，ab=代入计算；
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴m=-1，n=-6，
故答案为：-1， -6；
（2）∵，
∴，
∴，
∴a+b=-2，ab=；
①
=ab-2a-2b+4
=ab-2(a+b)+4
=-2×(-2)+4
=；
②
=
=
=
=
=13．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法计算，完全平方公式的变形求值，分式的加减，熟练掌握完全平方公式和分式的加减运算法则是解答本题的关键．
24．(1)且
(2)①不存在，理由见解析；②
【解析】（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为，代数式才有意义即可得答案；
（2）①根据已知列出方程，解方程即得答案；
计算，变形为，是一个整数，则的值为或，解出方程取无理数且即可．
(1)
由且可得：且，
故答案为：且；
(2)
不存在，理由如下：
由得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
原方程无解，
不存在；
，
是一个整数，
是整数，
或，
解得或x=1或或，
为无理数，且，
．
【点睛】本题考查根分式有意义的条件，无理方程及根分式的值，解题的关键是掌握无理方程需检验，是整数，则或．
25．（1）2，-2；（2）11；（3）25
【解析】（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于-x＞0，-＞0，则也可以按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵
∴
∴当时，的最小值为2；当时，的最大值为-2；
（2）由
∵x＞0，
∴
当 时，最小值为11；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD
∴x：9=4：S△AOD
∴：S△AOD=
∴四边形ABCD面积=4+9+x+
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．
26．纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元
试题分析：此题的等量关系是：A地到B地的路程是不变的，
即：
试题解析：设新购买的纯电动汽车每行驶一千米所需电费为x元.
由题意得：
解得：x=0.18
经检验0.18为原方程的解
答:纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元.
考点：分式方程的应用
27．该游乐园原来平均每分钟接待游客20人．
【解析】设游乐园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，根据接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
设该游乐园原来平均每分钟接待游客x人．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该游乐园原来平均每分钟接待游客20人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
28．京张高铁的平均速度为175 km/h．
【解析】设原京张铁路的平均速度为x km/h，则新京张高铁的平均速度是5x km/h，根据时间差为5h列出方程并解答．
解：设原京张铁路的平均速度为x km/h，则新京张高铁的平均速度是5x km/h，
依题意得：，
解得x=35．
经检验，x=35是所列方程的根，并符合题意．
所以，km/h
答：京张高铁的平均速度为175 km/h．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．