2022-2023学年京改版数学八年级上册（北京地区）第十二章 三角形 综合复习题（含解析）

第十二章 三角形 综合复习题
一、单选题
1．（2022·北京平谷·八年级期末）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）.
A．45° B．60° C．75° D．85°
2．（2022·北京一零一中石油分校八年级期中）不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上皆不对
3．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京市文汇中学八年级期中）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
5．（2022·北京市第五十七中学八年级期中）如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022·北京市第二中学朝阳学校八年级阶段练习）如图，已知∠MON及其边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ）.
A． B．∠OCB＝90° C．∠MON＝30° D．OC＝2BC
7．（2022·北京二十中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2022·北京八中八年级期末）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线 C．费马螺线曲线 D．科赫曲线
9．（2022·北京交通大学附属中学八年级期中）如图1，中，，D为BC中点，把纸片沿AD对折得到，如图2，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把纸片沿EF折叠，使得点A落在的外部，如图3所示．设，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·北京市鲁迅中学八年级期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
11．（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A．13 B．26 C．47 D．94
二、填空题
12．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，c为奇数，则△ABC的周长为______．
13．（2022·北京市第十九中学八年级期中）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=___．
14．（2022·北京市第九中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
15．（2022·北京市第二十二中学八年级期中）已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)
16．（2022·北京市文汇中学八年级期中）如图，是等边三角形，于点D，于点E．若，则___；与的面积关系是：____．
17．（2022·北京八中八年级期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．
18．（2022·北京·北大附中八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
19．（2022·北京四中八年级期中）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则_________．
三、解答题
20．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．
(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
21．（2022·北京二十中八年级阶段练习）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC．若∠B=42°，∠C=70°，求∠DAE和∠AEC的度数．
22．（2022·北京大兴·八年级期末）如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．（2022·北京市第十二中学八年级期中）如图，，，点在上，且．求证：．
24．（2022·北京市第五十四中学八年级期中）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．
25．（2022·北京市第一六六中学八年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
26．（2022·北京市鲁迅中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．
27．（2022·北京八中八年级期末）如图，在中，．
用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等保留作图痕迹，不写作法和证明
当满足的点P到AB、BC的距离相等时，求的度数．
28．（2022·北京市第十三中学分校八年级期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
参考答案：
1．C
【解析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．
解：如图，
∵∠ACD=90°、∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
2．C
试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
3．D
【解析】根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD=∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D=∠A=30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=30°，
∵∠CGF=∠D+∠BCD，
∴∠BCD=∠CGF-∠D=58°，
∴∠BCA=116°，
∴∠B=180°-30°-116°=34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E=∠B=34°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．D
试题分析：△ABC和△CDE是等边三角形
BC=AC，CE=CD，
即
在△BCD和△ACE中
△BCD≌△ACE
故A项成立；
在△BGC和△AFC中
△BGC≌△AFC
B项成立；
△BCD≌△ACE
，
在△DCG和△ECF中
△DCG≌△ECF
C项成立 D项不成立.
考点：全等三角形的判定定理.
5．C
【解析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质作出相应图像，然后即可确定点的个数
解：以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点符合题意．
以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交于两点（O点除外）．
作线段OA的垂直平分线与x轴有一交点．如图所示：
共4个点符合，
故选C．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．
6．D
【解析】由作图可得OA=AC=AB=BC，根据等底同高面积相等可对A进行判断，根据三角形一条边上的中线等于这条边一半的三角形是直角三角形可对B进行判断；根据△ABC是等边三角形，△AOC是等腰三角形可对C进行判断；根据OB=2BC可对D进行判断.
过C作CD⊥OB，垂足为D，如图所示，
∵S△OAC=，S△ABC=，OA=AB，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵OA=AC=AB=BC，
∴BC=OB，
∴△OCB是直角三角形，∠OCB=90°，故选项B正确，不符合题意；
在Rt△OCB中，∠OCB=90°，BC=OB，
∴∠COB=30°，即∠MON＝30°，故选项C正确，不符合题意；
∵OB=2BC，OB＞OC，
∴OC≠2BC，故选项D错误，符合题意.
故选：D.
【点睛】此题考查了直角三角形和等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OA=AC=AB=BC．
7．B
【解析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB=8，CD=2，
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积
故选B.
【点睛】考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键.
8．C
【解析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）求解．
解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，深刻理解轴对称图形的概念是解题关键
9．A
【解析】由翻折可知，，再根据三角形内角和可得，即可得出答案
解：由翻折可知，，，
∴，，
∵，
∴，即，
，
∵，D为BC中点，
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和轴对称的性质，解题关键是熟练运用相关性质得出角之间的关系，准确进行推导计算．
10．A
【解析】根据折叠的条件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．
将此长方形折叠，使点与点重合，，
，
根据勾股定理得：，
解得：．
．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
11．C
解：如图
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，于是，即．
故选C．
12．16
【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足，
∴，，
解得a=7，b=2，
∵，，
∴5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c=7，
∴△ABC的周长为：．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围．
13．120°
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点O是三个角的平分线的交点，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是三个角的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=（180°-60°）=60°，
在△BCO中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°．
故答案为120°．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并判断出点O是三个角的平分线的交点是解题的关键．
14．4或6
【解析】设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，分两种情况讨论①当△BPD≌△CQP时，②当△BPD≌△CPQ时，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可．
解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，
∵P点的速度为4，BC=16
∴BP=4t，PC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4．
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6．
综合①②可知速度为4或6．
故答案为：4或6．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质，分类讨论是解题的关键．
15．60
【解析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
解：连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为60
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．
16． ； ．
【解析】根据等边三角形三线合一性质，可知，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半解得；由解得，继而解得、，再根据三角形面积公式解得，，整理即可解得的值．
是等边三角形，
是的平分线
在中，
；
故答案为：；．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．①③④
【解析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．
18．5或
【解析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
19．45
【解析】根据网格的特点找到格点，证明，从而可得，然后根据勾股定理求得证明是等腰直角三角形，即可求得．
如图，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，证明是解题的关键．
20．(1)25°
(2)23°
【解析】（1）先由平行线的性质求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根据解平分线的定义求解即可；∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根据三角形内角和定理求出
（2）先由平行线的性质求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由对顶角性质得解．
（1）
解：∵，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，
∵平分
∴∠ABE=∠ABC==25°；
（2）
解：∵，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，
∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
又由（1）知：∠ABE=25°，
∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，
∴∠DEF=∠AEB=23°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
21．∠AEC=76°，∠DAE=14°．
【解析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE=∠BAC=34°，根据三角形的外角性质求出∠AEC，根据直角三角形的性质求出∠DAE．
解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=42°，∠C=70°，
∴∠BAC=68°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=34°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=76°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=90°-∠AEC=14°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）35°
【解析】（1）根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证；
（2）由（1）可得∠CAE=35°，再由≌，可得∠C=∠AED，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED=∠CAE，即可求解．
（1）证明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴；
（2）∵，，
∴∠CAE=35°，
∵≌，
∴∠C=∠AED，
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED，
∴∠BED=∠CAE=35°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
23．见解析
【解析】由题意易得，进而可证，然后问题可求证．
证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
24．证明见解析.
【解析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．
由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，
又∵∠D＝110°，
∴∠ACB＝∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(AAS)．
【点睛】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．
25．（1）证明见解析；（2）∠BOC=100°
【解析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠BOC=360°-180°﹣80°=100°．
【点睛】考点：等腰三角形的性质．
26．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．
【解析】（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30－x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．
解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即30－x＝×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键．
27．（1）图形见解析（2）30°
【解析】（1）画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求；
（2）由点P到AB、BC的距离相等可得出PC=PD，结合BP=BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），根据全等三角形的性质可得出BC=BD，结合AB=2BD及∠C=90°，即可求出∠A的度数．
解:（1）依照题意，画出图形，如图所示．
（2）∵点P到AB、BC的距离相等，
∴PC=PD．
在Rt△BCP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），
∴BC=BD．
又∵PD垂直平分AB，
∴AD=2BD=2BC．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴∠A=30°．
【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及解含30°角的直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握尺规作图；（2）通过证全等三角形找出AB=2BC．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；
（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；
解：（答案不唯一）
（1）图①（2）图②（3）图③
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键．