2022-2023学年京改版数学九年级上册（北京地区）第十八章 相似形 综合复习题（含解析）

第十八章 相似形 综合复习题
一、单选题
1．（2022·北京房山·九年级期中）若，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京昌平·九年级期中）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4 B．1，2，3，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
3．（2022·北京市顺义区仁和中学九年级期中）已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．0.618
4．（2022·北京房山·九年级期中）如图，已知∥∥，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．2
5．（2022·北京大兴·二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
6．（2022·北京通州·九年级期中）下列判断正确的是（ ）
A．任意两个平行四边形一定相似 B．任意两个矩形一定相似
C．任意两个菱形一定相似 D．任意两个正方形一定相似
7．（2022·北京市大峪中学分校九年级期中）若两个相似多边形的的相似比为，则它们面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京·大峪中学九年级期中）如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
9．（2022·北京房山·九年级期中）如图，F是的边上一点，则下列条件不能判定与相似的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·北京·九年级单元测试）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
11．（2022·北京双榆树中学九年级期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP=x，DQ=y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2022·北京海淀·二模）图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022·北京·人大附中通州校区九年级阶段练习）已知，那的值为___________．
14．（2022·北京市第九中学九年级期中）已知是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度为______．
15．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在矩形中，若，则的长为_______．
16．（2022·北京通州·九年级期中）如图，在中，，点D在上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是____________（写出一个即可）．
17．（2022·北京昌平·九年级期中）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
18．（2022·北京市顺义区仁和中学九年级期中）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．
19．（2022·北京通州·九年级期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是_________cm．
三、解答题
20．（2022·北京通州·九年级期中）已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
21．（2022·北京昌平·模拟预测）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．
(1)请按照小明的思路写出求解过程．
(2)小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
22．（2022·北京通州·九年级期中）如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．
23．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法）
24．（2022·北京·清华附中一模）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．
25．（2022·北京市顺义区仁和中学九年级期中）如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.
(1)求证：；
(2)如果，，求的值.
26．（2022·北京通州·九年级期中）如图，是小凯为估算鱼塘的宽AB设计的，在陆地上取点，使得在同一条直线上，在同一条直线上，测得．小凯测得的长为10米，求鱼塘的宽的长是多少米？
27．（2022·北京昌平·九年级期中）学习完相似形一章之后，数学兴趣小组利用相似三角形的有关知识测量校园内一棵树高，他们的方法如下：
如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则可测得大树的高度．
(1)请你根据上述方法求出树高；
(2)请你设计一个其他的测量方案，并简述方案．
参考答案：
1．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
B、由得，3x=2y，故本选项符合题意；
C、由得，2x=3y，故本选项不符合题意；
D、由得，xy=6，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
2．A
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、1×4=2×2，故选项符合题意；
B、1×4≠2×3，故选项不符合题意；
C、3×13≠5×9，故选项不符合题意；
D、1×3≠2×2，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
3．B
【分析】根据黄金分割的定义，知为较长线段，则，代入数据即可得出的值．
【详解】解：是线段的黄金分割点，且，为较长线段，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割，用到的知识点是把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
4．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质即可得出答案进行选择．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：CE=BD：DF，
∵，
∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，
∴AC：AE=1：3=.
故选A.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例即三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
5．D
【详解】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．故选D．
6．D
【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A．因为两个平行四边形的对应角及对应边均不能确定，故任意两个平行四边形不一定相似，故本选项错误；
B．任意两个矩形的对应边不能确定，故任意两个矩形不一定相似，故本选项错误；
C．两个菱形的对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故本选项错误；
D．由于正方形的四条边均相等，四个角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是相似多边形的判定，熟知平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质是解答此题的关键．
7．A
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，从而得解．
【详解】解：∵两个相似多边形的的相似比为，
∴它们面积之比为，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键．
8．D
【分析】根据相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】A．∵，，∴，故原说法正确，不符合题意；
B． ∵，，∴，故原说法正确，不符合题意；
C．∵， ，∴，故原说法正确，不符合题意；
D． ∵，而不一定等于 ，∴与不一定相似，故原说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法，并能熟练运用是解题的关键．
9．C
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、若，且，则，故选项A不合题意；
B、若，且，则，故选项B不合题意；
C、若，且，不能证明与相似，故选项C符合题意；
D、若，则，且，则，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
10．A
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，
∴，，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．A
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠BDC=60°，∴∠BDQ=∠BDP=120°，∵∠QBP=60°，∴∠OBD=∠PBC，∵AP∥BC，∴∠P=∠PBC，∴∠QBD=∠P，∴△BDQ∽△PDB，∴，即，∴xy=4，∴y与x的函数关系的图象是双曲线，故选A．
点睛：本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．A
【分析】根据平行线的判定定理确定，再根据相似三角形的判定定理和性质求解即可．
【详解】解：∵直线BD，CE均与直线AC垂直，
∴．
∴．
∴．
∵AB的长为x，
∴AC=AB+BC=x+BC．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，相似三角形的判定定理和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
13．
【分析】设x=3k，y=5k，其中(k≠0)，代入即可消去k即可求解．
【详解】解：由可知，设x=3k，y=5k，其中(k≠0)，
则x+y=8k，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的基本性质及运算，属于基础题．
14．
【分析】根据黄金比值为计算即可．
【详解】解∶ 是线段的黄金分割点，且，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．
15．1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16．∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）
【分析】相似三角形的判定定理：①两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；②两角对应相等的两个三角形相似．据此解答即可．
【详解】解：∵∠C=∠C
∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC．
故答案为：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了补充条件使两个三角形相似．解题的关键是熟知相似三角形的判定定理，特别注意用对应边成比例和一个角相等判定三角形相似的时候，其中相等的角一定要是这两条边的夹角．
17．8米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=8(米)，
故答案为：8(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
18．8
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【详解】如图：
∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE=AC：DE，
即1：5=1.6：DE，
∴DE=8m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
19．4
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
20．(1)见解析；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明四边形EGBH是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题．
【详解】（1）、
补全图形如下图所示：
（2）证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴，即．
∴AC∶AB=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．(1)见解析
(2)正确，见解析
【分析】（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，结合平行线分线段成比例定理可得：，由DE＝EP，可知DF＝FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得，进而可求得EM与EN的比值；
（2）作MH∥BC交AB于点H，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB∥CD，可得∠MNH＝∠CMN，结合对顶角的性质可证得∠DPC＝∠MNH，进而可得△DPC≌△MNH，从而有DP＝MN．
（1）
解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图1），
则，GF＝BC＝12，
∵DE＝EP，
∴DF＝FC，
∴EF＝CP＝＝3，EG＝GF+EF＝12+3＝15，
∵AB∥CD，
∴；
（2）
解：正确，
证明：作MH∥BC交AB于点H，（如图2），
则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，
∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCP＝∠MHN，
∵AB∥CD，
∴∠MNH＝∠CMN，
∵NE是DP的垂直平分线，
∴∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，
∵∠DPC＝90°﹣∠CDP，
∴∠DPC＝∠MNH，
∴△DPC≌△MNH（AAS），
∴DP＝MN．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．
22．见解析
【分析】利用对顶角相等得到∠AOB=∠COD，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解．
23．见详解
【分析】作∠ABC的角平分线，交AC于点D，再根据两角对应相等即可．
【详解】解：如图，直线BD即为所求．
证明：∵，，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠BCD=36°，
∴∠BCD=∠A，
∵∠C=∠A，
∴
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，以及三角形相似的判定，解题的关键是三角形相似的判定．
24．（1）详见解析；（2）AC=9，CD=.
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；
（2）利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
（2）∵△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AC AE，
∵AB＝6，AE＝4，
∴AC＝，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴ ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
25．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形对角相等可得，又，等量代换可得，再结合公共角，即可证明；
（2）根据（1）的结论，列出比例式代入数值计算可得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．20米
【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等可得，再根据对应边成比例可得答案．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴鱼塘的宽的长是20米．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键．
27．(1)
(2)见解析
【分析】（1）入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高；
（2）在距离树的米的处，用测角仪测得仰角，测角仪为再根据仰角的定义，构造直角三角形，利用三角函数计算可得答案．
【详解】（1）解：作图如下：
，，
∽，
，
即，
，
大树的高度为；
（2）解：在距离树的米的处，用测角仪测得仰角，测角仪为．
再根据仰角的定义，构造直角三角形，求得树高出测角仪的高度，则树高为．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．