2022-2023学年京改版数学九年级上册（北京地区）第二十二章 圆（下） 综合复习题 （含解析）

第二十二章 圆（下） 综合复习题
一、单选题
1．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
2．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为8，最小距离为2，则的直径为（ ）
A．6 B．10 C．6或10 D．无法确定
3．（2022·北京门头沟·九年级期末）已知⊙的半径为，点到圆心的距离为，那么点与⊙的位置关系是（ ）．
A．点在⊙外 B．点在⊙内 C．点在⊙上 D．无法确定
4．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（　　）
A．3cm B．3cm C．6cm D．6cm
6．（2022·北京·北师大实验中学九年级期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（　　）
A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
7．（2022·北京市第九十六中学九年级期中）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
8．（2022·北京四中九年级期中）如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为A，连接，，则的最小值为（ ）．
A． B．1 C． D．
9．（2022·北京八十中九年级阶段练习）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠P=40°，则∠ACB的度数为（ ）．
A．70° B．50° C．20° D．40°
10．（2022·北京二中九年级期中）如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．
12．（2022·北京市陈经纶中学分校九年级期中）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A，B．如果OP＝2，∠AOB＝120°，则PA＝_____．
13．（2022·北京·汇文中学九年级期中）如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为______．
14．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．
15．（2022·北京·清华附中一模）如图，是的直径，为上的点，若，则=____ .
16．（2022·北京丰台二中九年级期中）斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．
三、解答题
17．（2022·北京丰台·九年级期末）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：直线PA和相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：在中，连接BA．
∵，，
∴．
∴点A在上．
∵OP是的直径，
∴（______）（填推理的依据）．
∴．
又∵点A在上，
∴PA是的切线（______）（填推理的依据）．
18．（2022·北京市回民学校九年级期中）已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．
19．（2022·北京通州·九年级期末）如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝6，求线段AE的长．
20．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；作OP的垂直平分线与OP交于点M；
②以OM为半径作⊙M，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
请利用尺规作图补全小文的作图过程，并完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=∠ = （ ）（填推理的依据）．
， ．
∵OA，OB为⊙O半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）．
21．（2022·北京一七一中九年级期中）如图，在RtABC中，∠C＝90°，BD是ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，CD＝4，求半径的长．
22．（2022·北京四中模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若，，求AB的长．
23．（2022·北京市师达中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．
24．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．
(1)在，，中，点P的等和点有______；
(2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；
(3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．
25．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，sinB，求EF的长．
26．（2022·北京·东直门中学一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．
①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；
②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；
(2)如图2，⊙O的半径为1，直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
27．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）在平面直角坐标系中，对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点P是图形W的“相合点”．
（1）已知点，线段与线段组成的图形记为W；
①点中，图形W的“相合点”是___；
②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在⊙O外的一点P，使得点P为⊙O的相合点，直接写出r的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据点和圆的位置关系，知最好成绩在P点.
【详解】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.
【点睛】考查了点和圆的位置关系．
2．C
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设⊙O的直径为d,
当点P在圆外时，；
当点P在⊙O内时，．
故选C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
3．A
【详解】试题解析：∵OP=8＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选A．
4．B
【分析】连接OC，证明△PAO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得．
【详解】
如图，连接OC，
因为OB=OC，
所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因为，
所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，
所以在△PAO和△PCO中，
，
所以△PAO≌△PCO（SAS），
所以∠OCP=∠OAP
因为PA与相切于点A，
所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线、证明全等三角形和平行线等知识内容，灵活运用条件，学会选择辅助线是解题的关键．
5．B
【分析】设圆心为O，连接OA,OB,根据题意可得∠OAB＝∠CAB＝60°，可得OA＝6cm，然后运用勾股定理解即可.
【详解】
解：设圆心为O，连接OA,OB
∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°，
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的半径是3cm．
故答案为B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和圆的切线的性质以及勾股定理得应用，解答的关键在对圆的切线性质的应用.
6．C
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH＝BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH＝3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d＝r；直线l和⊙O相离 d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
7．B
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5即可得到△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意设，则，根据的半径是1得，根据是的切线得，即可得是直角三角形，在中，根据勾股定理得，即可得，根据二次函数的性质得当时，有最小值，即可得．
【详解】解：∵点是直线上
∴设，
∴，
∵的半径是1，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴是直角三角形，
在中，根据勾股定理得，
当时，有最小值，
即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
9．A
【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，由四边形内角和求出∠AOB，又由圆周角定理，可求得∠ACB的度数，继而可求得答案．
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP=140°
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，四边形内角和，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
10．C
【分析】根据三角形内角和定理可得，根据点I是的内心，可得，进而再根据三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵点I是的内心，
∴，，
即，
．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
11．
【分析】连接，作于，根据切线长定理得出，解直角三角形求得，即可求，然后解直角三角形即可求得的值．
【详解】连接，作于，
⊙与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
12．
【分析】利用切线的性质和切线长定理得到OP平分∠APB，∠PAO＝∠PBO＝90°，则利用四边形内角和可计算出∠APB＝60°，所以∠APO＝∠APB＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠APO＝∠APB＝30°，
在Rt△OAP中，∵OA＝OP＝1，
∴PA＝OA＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理以及勾股定理．
13．##40度
【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算，得到答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵PA，PB是的切线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．（6，6）
【分析】如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
【详解】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，其中判定△OMN为等腰直角三角形是解答本题的关键．
15．110
【分析】AB为直径，，求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
【详解】解：为直径，
，
，
，
在圆内接四边形ABCD中，
．
故答案是：110．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
16．
【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠OAP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
(1)
解：补全的图形如图所示；
(2)
证明：在中，连接BA．
∵，，
∴．
∴点A在上．
∵OP是的直径，
∴（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴．
又∵点A在上，
∴PA是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）⊙O的半径是3．
【分析】（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF；
（2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD=2．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．
【详解】（1）证明：连接OF．
∵∠OFB=180°﹣∠B﹣∠BOF=180°﹣∠B﹣2∠C=180°﹣∠B﹣∠BED=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵BF=FC，
∴∠B=∠FCB，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠AFE=60°，∠BED=60°，
∴△AEF是等边三角形，
则EF=AE=．
∴AD=2．
又∵∠C=30°，
∴CD=6，
∴⊙O的半径是3．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题.
19．（1）见解析；（2）6
【分析】（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】证明：（1）连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝，
∵∠ABC＝，
∴∠AOC＝2∠ABC＝，
∵∠AOC+∠OCE＝，
∴AD∥EC；
（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，
∵∠AOC＝，OA＝OC，
∴∠OAC＝，
∵∠BAC＝，
∴∠BAD＝，
∵AD∥EC，
∴，
∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°，
∴四边形OAFC是矩形，
∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AFE中，，
∴AE=2AF=6．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．补全作图见解析；OBP，90，直径所对圆周角为直角，OB，经过圆半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空．
【详解】补全作图如图，
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=∠OPB=90°（直径所对圆周角为直角）（填推理的依据）．
∴，OB．
∵OA，OB为⊙O半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线．（经过圆半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：OBP，90，直径所对圆周角为直角，OB，经过圆半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查作图—过圆外一点作圆的切线，圆周角定理的推论，切线的判定．掌握基本的作图方法和熟记直径所对圆周角为直角是解题关键．
21．（1）见解析；（2）半径的长为5．
【分析】（1）连接，由为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相等，进而确定出与平行，利用两直线平行同位角相等得到为直角，由此即可得证；
（2）过作垂直于，可得出四边形为矩形，由此可得OG＝CD＝4，设OE＝OD＝CG＝x，利用勾股定理列出方程即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的平分线，
，
，
，
，
∴，
，
，
是的切线；
（2）解：过作，连接，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设OE＝OD＝CG＝x，则GE＝CG－CE＝x－2，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
即半径的长为5．
【点睛】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
22．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得；
（2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，．
23．（1）①见解析；②0＜x＜2；（2）圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．
【分析】（1） ①根据反称点的定义画图得出结论；②∵CP≤2r＝2，CP2≤4， P（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤，2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，把x＝2和x=0代入验证即可得出，P（2，0），P′（2，0）不符合题意P（0，2），P′（0，0）不符合题意，∴0＜x＜2
（2）求出A，B的坐标，得出OA与OB的比值，从而求出∠OAB=30°，设C（x，0）
①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4，得出 C点横坐标x≥2． （当x＝2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，∴C点横坐标x≤8，得出结论.
【详解】解： （1）解：①M（2，1）关于⊙O的反称点不存在，
存在，关于⊙O的反称点存在，反称点
存在，关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）．
②∵OP≤2r＝2，OP2≤4， P（x，－x＋2），
OP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4≤4
2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，
∴0≤x≤2，当x＝2时，P（2，0），P′（2，0）不符合题意
当x＝0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意，
∴0＜x＜2
（2）解：由题意得：A（6，0），，
∴，
∴∠OAB＝30°，
设C（x，0）
①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4， C点横坐标x≥2．
（当x＝2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）
②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，∴C点横坐标x≤8
综上所述：圆心C的横坐标的取值范围2≤x≤8．
考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；
24．(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）由（1）可知，P的等和点纵坐标比横坐标大2，根据等和点的定义，A的横坐标比纵坐标大2，由此可得方程，求解即可；
（3）因为线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．且MN的最小值为5，所以PC的最大距离不能超过5，分别找到点P和点C的等和点所在的区域或直线，然后得到MN取得最大值时，b的边界即可．
(1)
解：由题意可知：
∵，∴点Q1是点P的等和点；
∵，∴点Q2不是点P的等和点；
∵，∴点Q3是点P的等和点；
∴点P的等和点有，，
(2)
解：设，
由（1）可知，P的等和点纵坐标比横坐标大2，
∵点P的等和点也是点A的等和点，
∴A的横坐标比纵坐标大2，
则，解之得：，故，
(3)
解：∵P（2，0），
∴P点的等和点在直线y=x+2上，
∵B（b，0），
∴B点的等和点在直线y=x+b上，
设直线y=x+b与y轴的交点为B'（0，b），
∵BC=1，
∴C点在以B为圆心，半径为1的圆上，
∴点C的等和点是两条直线及其之间与其平行的所有平行线上，
以B'为圆心，1为半径作圆，
过点B'作y=x+2的垂线交圆与N点，交直线于M点，
∵MN的最小值为5，
∴B'M最小值为4，
在Rt△B'MP'中，B'P=，
∴PB=，
∴OB=，
同理当B点在y轴左侧时OB=，
∴≤b≤．
【点睛】本题考查新定义，涉及到平面直角坐标系，坐标轴上两点之间的距离，一次函数，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解，（3）较难，需理解题意将其转化为求PC最大值问题．
25．（1）见解析；（2）EF
【分析】（1）先根据圆的切线性质和圆周角定理得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后由圆周角定理可得，等量代换得，最后根据等角对等边即可得证；
（2）由相似三角形的判定定理可得，再由相似三角形的性质得，由题（1）可知，因此只需求出BE的长即可；在中，解直角三角形可得BD和AD的长，然后在中，解直角三角形可得CD的长，从而可得DE的长，最后根据线段的和差可得BE的长.
【详解】（1）∵AD是⊙O的切线
∵AB是⊙O的直径
是等腰三角形，且
（等腰三角形的三线合一性质）
又（圆周角定理）
；
（2）由（1）可知，
在中，
设，则
在中，，即
，即
又
故EF的长为.
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键.
26．（1）①，，，②O；（2）；（3）0＜r≤3．
【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．
（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．
【详解】（1）①如图1中，
∵D（-1，0），E(0，)，
∴OD=1，，
∴，
∴∠EDO=60°，
当OP⊥DE时，，此时OP的值最小，
当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，
当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值，
当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，
故答案为：，，.
②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM=2ON，
故点O与线段DE满足限距关系．
故答案为O．
（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），
当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+b≥2（1-b），
解得，
∴b的取值范围为．
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，
当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为，最大距离为b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴，
而总成立，
∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，
两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+2≥2（2r-2），
解得r≤3，
故r的取值范围为0＜r≤3．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
27．（1）①，②或；（2）或
【分析】（1）①由题作出草图即可判断；
②根据中点坐标公式分为（Ⅰ）为中点，（Ⅱ）为中点，（Ⅲ）为中点，建立不等式组即可得解；
（2）先根据题意设过的直线交⊙O于、，作直线交⊙O于、，连接、，通过证明，以及圆的基本性质解得，再分为（Ⅰ）与⊙O相离，（Ⅱ）与⊙O相交，两种情况建立不等式求解．
【详解】解：（1）作图1如图示，
①由图1可知为、中点，为、中点，对不存在符合要求的情况，
故答案为：、；
设，在上，在上，
②（Ⅰ）为中点，则，，
，
解得，
（Ⅱ）为中点，则，，
，
解得：，
（Ⅲ）为中点，则，，
，
解得：，
综上：或；
（2）令，解得，，，
令，则，即，，则，
与横轴所成锐角为，
在⊙O外部，设过的直线交⊙O于、，作直线交⊙O于、，连接、如图2,
,
,
又,
,
,
，
又是弦，
，
，
又在⊙O外部，
；
当过二、三、四象限时，，⊙O的半径为，
一定在⊙O内部，即一定与⊙O相交，
若与⊙O相离则直线必过一、二、四象限，
（Ⅰ）与⊙O相离，相离时直线过一、二、四象限如图2，
要求存在在⊙O外部且是⊙O的相合点，作，
，
则只需，，
解得：，
（Ⅱ）与⊙O相交且存在在⊙O外部如图3：直线过二、三、四象限，连接⊙O与的交点,
则只需，，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查了对新定义的理解，圆的综合问题，不等式的应用、解直角三角形、中点坐标公式；读懂新定义，根据新定义会利用参数建立不等式，结合圆的性质作答是本题的关键．