高中数学人教A版2019必修第二册 10.1.2_事件的关系和运算_导学案(1)

10.1.2 事件的关系和运算
1.理解并掌握时间的关系和运算．
2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．
重点：件运算关系的实际含义．
难点： 事件运算关系的应用.
一、温故知新
1.随机试验：把对随机现象的实现和对它的观察称为_________ (简称试验)，常用字母E表示．
特点:可重复性;可预知性;随机性
2.样本点和样本空间
定义 字母表示
样本 点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用 表示样本点
样本 空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用 表示样本空间
有限 样本 空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω={ω1，ω2，…，ωn}
随机 事件 我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可 能事 件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生.我们称 为不可能事件
3.三种事件的定义
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.
在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件.
在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件
情境与问题
从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；
F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你
能发现这些事件之间的联系吗？
引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件
用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1} {1,3,5},即C1 G. 这时我们说事件G包含事件C1.
；
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).
蓝色区域表示交事件
用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”. 它们分别C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩ C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.
一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩ B是一个不可能事件,
即A∩B=Φ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.
可以用图表示这两个事件互斥.
其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.
其含义是：事件A与 事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．
事件A的对立事件记为 ,可以用图表示为.
1.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。
判断下列结论是否正确.
(1)C1与C2互斥； (2)C2,C3为对立事件;
(3)C3 D2; (4)D3 D2;
(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; (6)D3=C5∪C6;
(7)E=C1∪C3∪C5; (8)E,F为对立事件；
(9)D2∪D3=D2; (10)D2∩D3=D3.
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.
例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=
“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ).
(A)至多一次中靶 (B)两次都中靶
(C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶
2.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,向上面至少有一枚
是正面为事件N,则有( )
A.M N B. M N C.M=N D.M3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},
则P∪Q＝ ,
M∩Q＝_______________________.
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是________．
5.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有一名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
参考答案：
知识梳理
1随机试验
特点:可重复性;可预知性;随机性
学习过程
1.答案：（2）错，其余都对
例5 分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并
联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2) A={(1,0),(1,1)}, B={(0,1),(1,1)},
,
(3)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效.
A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};
A∪B表示电路工作正常,
表示电路工作不正常；
A∪B和互为对立事件.
例6用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}
R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}
R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}
R={(1,2),(2,1)}
G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}
N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
(2)因为R R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
达标检测
1. 解析：“至少一次中靶”的对立事件是“两次都没有中靶”，所以选D
2.A
3. {向上的点数是1或3或4}　{向上的点数是3}
4. 至少有一件是二级品
5. [解析]　判别两个事件是否互斥，就是考查它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考查它们是否必有一个发生且只有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有两名女生时它们都不发生，所以它们互斥不对立事件．
(2)因为“恰有两名男生”发生时，“至少有一名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们互斥对立．
(4)由于选出的是“一名男生一名女生”时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
[点评]　判断两个互斥事件是否对立要依据试验的条件，考虑事件关系必须先考虑条件．本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件．
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