高中数学人教A版2019必修第二册 10.1.2_事件的关系和运算_导学案(2)

10.1.2 事件的关系和运算
1．理解并掌握时间的关系和运算．
2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．
1.数学抽象：事件的关系和运算．
重点：事件运算关系的实际含义．
难点：事件运算关系的应用.
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阅读课本229-232页，填写。
1.事件的关系与运算
定义 表示法 图示
事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ________(或________)
并事件 若某事件发生当且仅当__________ ___________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ________(或________)
交事件 若某事件发生当且仅当___________ __________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ________(或________)
互斥关系 若A∩B为________，则称事件A与事件B互斥 若________，则A与B互斥
对立关系 若A∩B为___________，A∪B为________，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝或A＝ 若A∩B＝ ，A∪B＝U，则A与B对立
探究1 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？
(2)互斥事件和对立事件的关系是怎样的？
探究2 从运算的含义总结事件的关系或运算？
1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．互斥不对立　　　　　
B．对立不互斥
C．互斥且对立
D．不互斥、不对立
2．打靶3次，事件“击中发”，其中.那么表示（ ）
A．全部击中 B．至少击中1发 C．至少击中2发 D．全部未击中
3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是(　　)
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．任何两个都互斥
D．任何两个都不互斥
4．某人打靶两次，事件A为只有一次中靶，事件B为二次中靶，则A＋B________.
题型一 事件关系的判断
例1 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？
跟踪训练一
1. 判断下列各事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
(3)至少有1名男生和全是男生；
(4)至少有1名男生和全是女生．
题型二 事件的运算
例2　如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B 以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明它们的含义及关系．
跟踪训练二
1. 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
1．事件M N，当N发生时，下列必发生的是(　　)
A．M　　　B．M∩N
C．M∪N D．M的对立事件
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机)，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
3．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件A为点数不小于4，事件B为点数不大于4，则A∩B＝________.
5．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
答案
小试牛刀
1. C
2．B.
3．D.
4. 至少一次中靶
自主探究
例1 【答案】（1）详见解析（2）事件包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件（3）事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事件的交事件.
【解析】（1）所有的试验结果如图所示,
用数组表示可能的结果,是第一次摸到的球的标号,是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间
事件=“第一次摸到红球”,即或2,于是
；
事件=“第二次摸到红球”,即或2,于是
.
同理,有
,
,
,
.
（2）因为,所以事件包含事件R；
因为,所以事件R与事件G互斥；
因为,,所以事件M与事件N互为对立事件.
（3）因为,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为,所以事件R是事件与事件的交事件.
跟踪训练一
1. 【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．(4)是互斥事件，也是对立事件．理由见解析
【解析】 (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．
(2)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．
“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
(4)是互斥事件，也是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．其并事件是必然事件，所以是对立事件．
例2　【答案】　(1)样本空间为Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．
(2)A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}，
＝{(0,0)，(0,1)}，＝{(0,0)，(1,0)}．
(3)A ∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}，∩＝{(0,0)}；A∪B表示电路工作正常，∩表示电路工作不正常；A∪B和∩互为对立事件．
【解析】　(1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．
(2)根据题意，可得
A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}，＝{(0,0)，(0,1)}，＝{(0,0)，(1,0)}．
(3)A ∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}，∩＝{(0,0)}；A∪B表示电路工作正常，∩表示电路工作不正常；A∪B和∩互为对立事件．
跟踪训练二
1. 【答案】(1) D＝A∪B．(2)C∩A＝A．
【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，所以A C，故C∩A＝A．
当堂检测
1-3.CDB　
4. {4}
5.【答案】（1）见解析；（2）事件D2，D3，E，F，G为和事件.
【解析】(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；
事件F包含事件C2，C4，C6；
事件G包含事件C1，C3，C5.
易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
故事件D2，D3，E，F，G为和事件．
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