高中数学人教A版2019必修第二册 10.1.2_事件的关系和运算_教学设计(1)

10.1.2 事件的关系和运算
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.2 事件的关系和运算》，事件的关系与运算是继随机事件的后续部分,本节课提出了事件的关系、事件的运算等两部分.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义. 由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系.为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标 学科素养
A.理解并掌握时间的关系和运算． B.能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中． 1.数学建模：事件关系的运用 2.逻辑推理：事件运算与集合运算的联系与区别 3.数学运算：事件运算 4.数据分析：在具体事例中分析事件关系与运算
1.教学重点：件运算关系的实际含义．
2.教学难点： 事件运算关系的应用.
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教学过程 教学设计意图 核心素养目标
情境与问题 从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算. 例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”； 请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？ 引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件 用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1} {1,3,5},即C1 G. 这时我们说事件G包含事件C1. ； 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B). 可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件. 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB). 蓝色区域表示交事件 用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”. 它们分别C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩ C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥. 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩ B是一个不可能事件, 即A∩B=Φ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）. 可以用图表示这两个事件互斥. 其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生． 用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系. 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立. 其含义是：事件A与 事件在任何一次试验中有且仅有一个发生． 事件A的对立事件记为 ,可以用图表示为. 1.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。 判断下列结论是否正确. (1)C1与C2互斥； (2)C2,C3为对立事件; (3)C3 D2; (4)D3 D2; (5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; (6)D3=C5∪C6; (7)E=C1∪C3∪C5; (8)E,F为对立事件； (9)D2∪D3=D2; (10)D2∩D3=D3. 答案：（2）错，其余都对 综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下 事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件. 例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等. 例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系. 分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态. 解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并 联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. (2) A={(1,0),(1,1)}, B={(0,1),(1,1)}, , (3)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效. A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)}; A∪B表示电路工作正常, 表示电路工作不正常； A∪B和互为对立事件. 例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2= “第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同” (2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ 用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)} R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)} R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)} R={(1,2),(2,1)} G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)} N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} (2)因为R R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件. (3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件； 因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件. 由具体事例出发，提出问题，让学生了解事件关系和运算与集合运算的联系。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。 通过联系集合运算和韦恩图帮助学生理解事件关系及其运算。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 通过实例分析，让学生掌握分析事件关系的方法加深对概念的理解，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测 1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ). (A)至多一次中靶 (B)两次都中靶 (C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶 解析：“至少一次中靶”的对立事件是“两次都没有中靶”，所以选D 2.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,向上面至少有一枚 是正面为事件N,则有( ) A.M N B. M N C.M=N D.M四、小结 事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下 事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω
(1)包含关系、相等关系的判定 ①事件的包含关系与集合的包含关系相似； ②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生． (2)判断事件是否互斥的两个步骤 第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． (3)判断事件是否对立的两个步骤 第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
本节课通过对具体事例，提出了事件的关系、事件的运算等两部分.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义. 由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系. 教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
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