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整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
提公因式：
公因式：多项式的每一项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式。
提公因式法因式分解：
提公因式法的步骤：①找出公因式；②提公因式并确定另一个因式。提公因式时，可
用原多项式除以公因式，所得的商即是提出公因式后剩下的另一个因式。
找出公因式的步骤：
①定系数：多项式各项系数的最大公约数
②定字母：各项中相同的字母
③定指数：相同字母的最低次数
[命题角度1] 因式分解的概念
【类型一】考查因式分解的概念
【例1】下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；
④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
[命题角度2] 提公因式法分解因式
【类型二】确定公因式
【例2】 多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是( )
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D.
方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
【类型三】 用提公因式法因式分解
【例3】 因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．
解：(1) 原式＝4ab2(2a2＋3bc)；
原式＝(2a－3)(b＋c)；
原式＝(a＋b)(a－b－1)．
方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．
【类型四】 利用因式分解进行简便运算
【例4】 计算：
39×37－13×91；
29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.16，进而求出即可．
解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
【类型五】 利用提公因式法整体代换求值（化简求值）
【例5】 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．
解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．
【类型六】利用提公因式法解决整除问题
【例6】试说明32022－32021－32020能被15整除
解析：要说明一个数能被15整除，只要说明这个数有15这个因数即可。
解：∵32022－32021－32020＝32020(32－3－1)＝32020×5＝32019×3×5＝32019×15，
∴以32022－32021－32020能被15整除
方法总结：能被因数n整除就是原式通过因式分解可以化为含有因数n的积的形式
【类型七】 因式分解与三角形知识的综合
【例7】△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，
∴(a－c)＝0或(1＋2b)＝0，即a＝c或b＝－(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．
方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．
【类型八】 运用因式分解探究规律
【例8】 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．
解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．
解：(1) 因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次；
(2) 分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2015次，结果是(1＋x)2015；
(3) 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1.
方法总结：解决此类问题需要认真阅读理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．
1.下列多项式的分解因式，正确的是（ B ）
A. 12xyz－9x2y2＝3xyz(4－3xyz) B. 3a2y－3ay＋6y＝3y(a2－a＋2)
－x2＋xy－xz＝－x(x2＋y－z) D. a2b＋5ab－b＝b(a2＋5a)
2.多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是（ C ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
3.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于 3a(x－y)2 。
4.(1)5x2y＋15x3y3＋20x2y3； (2)－3x2y＋12x2yz－9x3y2； (3)4q(1－p)3＋2(p－1)2
解：(1)原式＝5x2y(1＋3xy2＋4y2)；
(2)原式＝－3x2y(1－4z＋3xy)
(3)原式＝4q(1－p)3＋2(1－p)2＝2(1－p)2[2q(1－p)＋1]＝2(1－p)2[2q－2pq＋1]
5.已知n是任意正整数，试说明3n＋2－4×3n＋1＋10×3n能被7整除。
解：∵3n＋2－4×3n＋1＋10×3n＝3n(32－4×3＋10)＝7×3n
∴3n＋2－4×3n＋1＋10×3n能被7整除
6.(1)已知: 2x＋y＝4，xy＝3，求代数式2x2y＋xy2的值.
(2)化简求值：(2x＋1)2－(2x＋1)(2x－1)，其中x＝.
解：(1)2x2y＋xy2＝xy(2x＋y)＝3 ×4＝12.
(2)原式＝(2x＋1)[(2x＋1)－(2x－1)]
＝(2x＋1)(2x＋1－2x＋1)
＝2(2x＋1).
将x＝代入上式，得
原式＝4.
7.仔细阅读下面的例题，再解答问题。
例题：已知多项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值。
解：设另一个因式为x＋n，
得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)。
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
所以n＋3＝－4,3n＝m；解得n＝－7,m＝－21。
所以另一个因式为x－7，m的值为－21.
问题：
（1）若可把多项式x2－5x＋6分解因式为(x－2)·(x＋a)，则a＝ .
（2）若可把多项式2x2＋bx－5分解因式为(2x－1)·(x＋5)，则b＝ .
（3）若多项式2x2＋3x－k有一个因式是2x－5，求两一个因式及k的值。
解：（1）－3
详解：因为(x－2)(x＋a)＝x2＋(a－2)x－2a＝x2－5x＋6，所以a－2＝－5，解得a＝－3；
（2）9 详解：因为(2x－1)(x＋5)＝2x2＋9x－5＝2x2＋bx－5，所以b＝9；
（3）设另一个因式为x＋n，
得2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋n)＝2x2＋(2n－5)x－5n。
所以2n－5＝3,5n＝k；解得n＝4,k＝20。
所以另一个因式为x＋4，k的值为20.
1、2、3、
知识清单
能力拓展
课后训练
课后反思
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14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
一、因式分解
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
提公因式：
公因式：多项式的每一项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式。
提公因式法因式分解：
提公因式法的步骤：①找出公因式；②提公因式并确定另一个因式。提公因式时，可
用原多项式除以公因式，所得的商即是提出公因式后剩下的另一个因式。
找出公因式的步骤：
①定系数：多项式各项系数的最大公约数
②定字母：各项中相同的字母
③定指数：相同字母的最低次数
[命题角度1] 因式分解的概念
【类型一】考查因式分解的概念
【例1】下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；
④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[命题角度2] 提公因式法分解因式
【类型二】确定公因式
【例2】 多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是( )
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
【类型三】 用提公因式法因式分解
【例3】 因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b.
【类型四】 利用因式分解进行简便运算
【例4】 计算：
39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
【类型五】 利用提公因式法整体代换求值（化简求值）
【例5】 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
【类型六】利用提公因式法解决整除问题
【例6】试说明32022－32021－32020能被15整除
【类型七】 因式分解与三角形知识的综合
【例7】△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
【类型八】 运用因式分解探究规律
【例8】 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．
1.下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A. 12xyz－9x2y2＝3xyz(4－3xyz) B. 3a2y－3ay＋6y＝3y(a2－a＋2)
－x2＋xy－xz＝－x(x2＋y－z) D. a2b＋5ab－b＝b(a2＋5a)
2.多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是（ ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
3.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于 。
4.(1)5x2y＋15x3y3＋20x2y3； (2)－3x2y＋12x2yz－9x3y2； (3)4q(1－p)3＋2(p－1)2
5.已知n是任意正整数，试说明3n＋2－4×3n＋1＋10×3n能被7整除。
6.(1)已知: 2x＋y＝4，xy＝3，求代数式2x2y＋xy2的值.
(2)化简求值：(2x＋1)2－(2x＋1)(2x－1)，其中x＝.
7.仔细阅读下面的例题，再解答问题。
例题：已知多项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值。
解：设另一个因式为x＋n，
得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)。
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
所以n＋3＝－4,3n＝m；解得n＝－7,m＝－21。
所以另一个因式为x－7，m的值为－21.
问题：
（1）若可把多项式x2－5x＋6分解因式为(x－2)·(x＋a)，则a＝ .
（2）若可把多项式2x2＋bx－5分解因式为(2x－1)·(x＋5)，则b＝ .
（3）若多项式2x2＋3x－k有一个因式是2x－5，求两一个因式及k的值。
1、2、3、
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