2022-2023学年上海市嘉定区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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2022-2023学年上海市嘉定区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共6小题，共18分）
下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
下列方程中，是关于的一元二次方程的是( )
A. 、、是实数
B.
C.
D.
下列各式在实数范围内不能分解因式的是( )
A. B. C. D.
如果有点、、在反比例函数的图象上，如果，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
函数和且的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共12小题，共24分）
化简：______．
函数的定义域是______．
已知函数，那么______．
方程的根是______．
如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是______．
关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是______．
关于的不等式的解集是______．
在实数范围内分解因式：______．
已知是整数，则满足条件的最小正整数为______．
有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是元，降价两次后的售价是元，若每次下降的百分率是，由题意列出关于的方程：______．
若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是______．
在平面直角坐标系中，点为直线和双曲线的一个交点，点在轴负半轴上，且点到轴的距离为，如果在直线上有一点，使得，那么点的坐标是______．
三、解答题（本题共8小题，共58分）
计算：．
．
解方程：．
用配方法解方程：．
已知，，求值：
甲、乙两同学骑自行车从地沿同一条路到地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑行时间之间的函数关系如图所示．
乙比甲先出发______小时．
甲骑行的速度是每小时______千米．
相遇后，甲的速度______乙的速度填“大于”、“小于”或“等于”．
甲比乙少用了______小时．
如图，某建筑工程队在一堵墙边上用米长的铁栏围成一个面积为平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点，点是正比例函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为，交正比例函数的图象于点．
求正比例函数解析式、反比例函数解析式．
当点的纵坐标为时，求的面积．
在的条件下，若直线上存在一点，点的横坐标为，的面积为，直接写出关于的解析式，并写出定义域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数或因式，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：．，，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B.，，因为化成最简二次根式以后被开方数相同，所以是同类二次根式，故本选项符合题意；
C.因为和的被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D.，，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
3.【答案】
【解析】解：当时，该方程不是关于的一元二次方程，故A不符合题意；
B.原方程可整理为：是一元一次方程，故B不符合题意；
C.方程中分母含未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D.符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，判断即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4.【答案】
【解析】解：、有实数根，故本选项能在实数范围内因式分解；
B、有实数根，故本选项能在实数范围内因式分解；
C、没有实数根，故本选项不能在实数范围内因式分解；
D、有实数根，故本选项能在实数范围内因式分解；
故选：．
先令二次三项式为，若有实数根则能因式分解，否则不能．
本题考查了实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．
5.【答案】
【解析】解：反比例函数为，
函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大，
又，
，，，且，
，
故选：．
依据反比例函数为，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大，进而得到，，的大小关系．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6.【答案】
【解析】解：且，
，，
正比例函数的图象在第二四象限，
反比例函数的图象在第一三象限，
故选：．
首先根据且，可得，，再根据正比例函数的性质可得的图象在第二四象限，根据反比例函数的性质可得的图象在第一三象限，进而可选出答案．
此题主要考查了正比例函数与反比例函数的性质，关键是熟练掌握两个函数的性质．
7.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接把被开方数相乘即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的乘除法则是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为．
根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9.【答案】
【解析】解：当时，．
故答案为：．
把代入函数关系式计算即可．
本题考查函数值的计算，掌握运算顺序和运算方法是解题关键．
10.【答案】，
【解析】解：，
，
或，
，．
故答案为，．
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为两个一元一次方程或，然后解一元一次方程即可．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
11.【答案】
【解析】根据正比例函数的性质正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限解答．
解：正比例函数的图象经过第二、四象限，
，
解得，．
故答案是：．
本题主要考查了正比例函数的性质．正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限．
12.【答案】且
【解析】解：由题意知，，，
解得：，
则的取值范围是且；
故答案为：且．
根据方程有两个实数根，得出且，求出的取值范围，即可得出答案．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据解一元一次不等式的步骤与方法和二次根式的性质解答便可．
本题考查了解一元一次不等式，有理化分母，关键是熟记解不等式的步骤与方法，特别注意系数化成时，不等式两边除以负数，不等号的方向要改变．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先配成完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解即可．
本题考查了实数范围内分解因式，能够正确配成完全平方式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，且是整数；
是整数，即是完全平方数；
的最小正整数值为．
故答案是：．
因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为．
此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得．
故答案为：．
利用经过两次降价后的售价原售价每次下降的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，则称这两个代数式为“互为友好因式“，
的“互为友好因式”：，
故答案为：．
根据满足，则称这两个代数式为“互为友好因式，列出式子，再分母有理化．
本题主要考查分母有理化，掌握分母有理化的方法，理解题意是解题关键．
18.【答案】或
【解析】解：点为直线和双曲线的一个交点，
，．
直线与反比例函数的另一个交点为．
点在轴负半轴上，且点到轴的距离为，
，
由对称性可知：，
当点与重合时，，此时．
当点在的延长线上时，时，，此时，
综上所述，满足条件的点的坐标为或；
故答案为：或．
先利用待定系数法求得两函数的解析式，然后根据中心对称性得出直线与反比例函数的另一个交点为由对称性可知：，推出当点与重合时，，此时当点在的延长线上时，时，，再利用中点坐标公式求解即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式求出即可．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
20.【答案】解：原式
．
【解析】利用二次根式的性质得到，，则可利用平方差公式和完全平方公式把分子分解，然后约分后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
21.【答案】解：，
，
则，即，
或，
解得，．
【解析】先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
22.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，．
【解析】移项，系数化成，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等．
23.【答案】解：由题意知：，
原式．
【解析】将所求代数式括号内的分式通分、合并，化简后代数求值．
此题考查了二次根式的混合运算，正确的化简代数式是解答此题的关键．
24.【答案】 大于
【解析】解：由题意可得：
乙比甲先出发小时．
故答案为：；
甲骑行的速度为：千米小时．
故答案为：；
相遇后，甲的速度大于乙的速度填“大于”、“小于”或“等于”．
故答案为：大于；
甲比乙少用了小时．
根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案．
本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
25.【答案】解：设仓库的垂直于墙的一边长为米，
依题意得，
，
，
或，
当时，；
当时，，不合题意舍去．
答：该长方形相邻两边长要取米，米．
【解析】设仓库的垂直于墙的一边长为米，而与墙平行的一边开一道米宽的门，现有能围成米长的篱笆，那么平行于墙的一边长为米，而仓库的面积为米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
26.【答案】解：把代入得，解得，
正比例函数解析式为，
把代入得，，解得，
反比例函数解析式为；
把代入，得，解得，
，
把代入，得，解得，
，
把代入，得，
，
的面积；
由知：，，
，
分两种情况：
当时，如图，
；
当时，如图，
；
综上，关于的解析式为：．
【解析】根据待定系数法求得即可；
把代入反比例函数的解析式即可求得的坐标，把点的横坐标代入正比例函数的解析式即可求得的坐标，计算和的长，根据三角形面积公式可得结论；
先计算的长，分两种情况根据三角形的面积公式可得结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式以及反比例函数和一次函数的交点，根据的纵坐标求得的坐标，进而即可求得的坐标．
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