多边形的内角和教学设计
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文档简介
七 年 级 下 册
多 边 形 的 内 角 和
第一课时教学设计
单位：青海油田实验中学
说课教师: 聂红霞
2010-9
七年级下册
多边形的内角和
一、教学目标
1、知识与技能：
掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。
2、过程与方法：
（1）通过测量，类比，推理等教学活动，探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。
（2）通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
（3）通过探索多边形内角和公式，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。
3、情感态度与价值观：
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，体验数学充满思考和创造的乐趣，从而提高学生的学习热情。
二、教学重点与难点
重点是：多边形内角和公式的探索与应用。
难点是：在探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
三、教学方法
互动式探究模式、启发式、发现式教学法。
四、教学工具
多媒体课件、投影仪、三角板。
五、教学过程
（一）创设情景，引入新课
问题1:三角形的内角和等于多少？(1分钟）
问题2:正方形、长方形的内角和都等于多少？
设计意图:从学生已有的关于三角形内角和的经验出发引出课题也易于学生接受，给学生一个小小的成功感，将会自觉参加探索四边形内角和的活动，并在活动中发挥积极的作用。
问题3：任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？
预设有以下几种回答方法，然后组织学生一一进行实践：（3分钟）
度量或剪拼操作：
学生分小组，分工协作画一任意四边形，借助量角器度量出四边形的各个内角，并计算所画四边形的内角和，你能得出什么结论？
小组得出的结论可能会有不同，引导学生注意度量时有误差，教师可借助多媒体演示度量结果，帮助学生用度量的方法得出任意四边形的内角和是360°。
设计意图：先验证度量和剪拼方法，让学生亲自操作度量寻求结论，易于引起学习兴趣，提供感性认知，培养动手能力，并且亲身感受到这两种方法的的不精确性和局限性，从而引发学生寻找新方法。
理论论证
度量法是解决四边形内角和最直接的方法，但是它有不足的地方。能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？你是怎样得到的？你能找到几种方法？
学生思考，并分组交流讨论，教师深入小组参与活动，指导、倾听学生交流。
学生分组选代表展示小组的探索成果,师生共同进行评判，对学生找到的不同方法要加以及时肯定。（6分钟）
学生使用的方法可能有：
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（1）过一个顶点画对角线1条，得到2个三角形，如图1，内角和为2×180°；
（2）画2条对角线，在四边形内部交于一点，得到4个三角形，如图2，内角和为4×180°-360°；若在四边形内部任取一点，如图3，也可以得到相应的结论；
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（3）这个点还可以取在边上，如图4，内角和为3×180°-180°；
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（4）点还可以取在外部，如图5，内角和为3×180°-180°，让学生课后思考这种方法。
设计意图：从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。并通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言表达能力。
教师总结：
利用辅助线把四边形的内角和转化为三角形的内角和，体现了化未知为已知的转化思想。以上这些方法同样适用于探究任意凸多边形的内角和。下面我们可以选用你最喜欢的方法来探究四边形、五边形、六边形，甚至任意n边形的内角和。
（二）自主探索，深化新知
动动手：（5分钟）
请你选择自己喜欢的方法分别求出任意五边形、六边形、七边形的内角和。
设计意图：通过增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解；同时，在四边形的基础上，通过自主探究继续探索连续整数边数的多边形的内角和与边数间的关系，为归纳n边形内角与边数的关系准备素材。 在探索的过程中再一次发展学生的推理能力和表达能力。
(六边形，七边形图见课件)
学生按不同思路上来用投影展示分割方法和计算过程。同时也锻炼了学生的几何语言表达和逻辑推理。（10分钟）
（三）类比探究、归纳验证
问题1：n边形的内角和如何表达？(6分钟）
多边形 边数 分成三角形的个数 图形 内角和 计算规律
四边形 4
五边形 5
六边形 6
七边形 7
… … … … … …
n边形 n
A、借助方法一探索多边形内角和：
引导学生寻找规律，归纳得到n边形的内角和可以表示为(n-2) ×180°。
B、借助方法二探索多边形内角和：
n边形被分成n个三角形，它的内角和就等于n×180°-360°。
C、借助方法三和四探索多边形内角和：
n边形被分成n-1个三角形，它的内角和就等于（n-1）×180°-180°。
学生按不同思路上来用投影展示分割方法和由此在形式上不同的表达式。
本次活动中,要重点关注：
(1)学生能否利用前面的多边形素材有条理地发现和概括出边数与内角和的关系；
(2)学生能否对不同的观点进行质疑,感受数学结论的正确性,验证结论的正确性。
设计意图：从探索四边形的内角和，到五边形、六边形、七边形乃至n边形，通过增强图形的复杂性，学生借助表格，自己观察总结规律，猜想出n边形的内角和，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法，再一次经历转化的过程，同时在分组交流的过程中，感受合作的重要性。
问题2：对于n边形的内角和，你们用了多种方法去探索，这几种方法得出的n边形的内角和一致吗？
引导学生得出(n-2) ×180°= n×180°-360°=（n-1）×180°-180°。
引导学生观察这几种方法都是把多边形转化成多个三角形来解决问题，得到n边形的内角和公式。
n边形内角和等于（n－2）× 180°
设计意图：三个表达式在形式上各不相同，让学生去发现它们的联系，化归为一简单的表达式，从而验证了数学结论的确定性。通过公式的归纳过程,体会数形之间的联系,感受由按特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法.在交流与合作的过程中,感受合作的重要性.同时也获得成功的体验。
（四）应用新知，尝试练习（5分钟）
练习1、你能说出八边形的内角和吗？十边形呢？
练习2、一个多边形的内角和是1260°，请问它是几边形？
练习3、求下列图形中x的值
设计意图：请学生应用公式计算，使他们体会到公式的便利作用，及应用自己研究成果的愉悦；用公式解决问题，体现新知的应用价值，使学生获得成功感。
本次活动中，要重点关注：
（1）学生是否运用多边形内角和公式解决问题；
（2）学生能否有条理的表达自己的思考过程；
（3）学生能否通过自我评价了解自己对知识的掌握程度；
（4）学生从中是否感受了数学结论的严谨性。
（五）归纳总结，形成体系（3分钟）
学生采用合作小组小结方式，谈谈收获和体会，最后老师总结。
问题一：这堂课我们主要学了哪些知识？
问题二：这堂课我们体会到了哪些数学思维方法？
问题三：在这堂课里，你最大的收获是什么？最愉悦的事情是什么？
教师总结：
1、探索了n边形的内角和公式（n一2）·180°。
2、未知的多边形内角和转化为已知的三角形内角和。
3、多边形的内角和公式的应用：
（1）已知边数如何求内角和；
（2）已知内角和如何求边数。
设计意图：在小结部分采用合作小结方式，让学生思考、交流，谈谈收获和体会。有利于落实教师主导、学生主体地位。合作小结也有助于训练学生概括归纳能力，同时有助于学生在归纳概括过程中把所学知识条理化、系统化 。
拓展延伸（课后思考）
小明曾有一个设想：2010年世博会在上海举办，他设计一个内角和是2010°的多边形图案会很有意义，你认为小明的想法能实现吗？
设计说明：通过这道题，使学生更进一步理解和灵活运用多边形的内角和来解决问题。
（六）布置作业
必做题：习题7.3 2、5
选做题：习题7.3 7
思考题：习题7.3 8
设计说明：根据学生的个体差异，遵循因材施教的原则，我设计了分层作业，使不同层次的学生都能通过作业巩固本节基础知识，并力图形成技能。使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。从而落实因材施教，体现新课程理念。（1分钟）
（七）板书设计
7.3.2多边形的内角和
一、四边形内角和探究
二、五、六、七边形内角和探究
三、归纳n边形内角和公式（n-2)180°
练习1
练习2
练习3
练习4
小结
公式互化
课后反思：本节课教学整体效果很好。该班级学生的程度较好，在探究中能够积极参与活动，思维活跃，想法新颖，使课堂教学充满活力。一系列的课堂练习设置充分调动了学生的参与热情，多数学生学习效果较好，达到了预期目的。个别学生课上有吃力的表现，尽管及时进行了帮助，课下还要及时进行进一步的关注。
本节课的教学实践让我再次体会到：课堂上的真正主人应该是学生。教师只是一名组织者、引导者、参与者。一堂好课，师生一定会有共同的积极的情感体验。 本节课教学中，各知识点均是由学生自主探索和合作交流中发现的，学生充分经历了探索与发现的过程，这正是新课程所倡导的学习方法。教学中没有将重点放在大量的练习上，而是定位在多边形的内角和公式形成的探索过程，这是更加注重培养学生能力的体现，今后的教学中还要继续注重引导学生自我探索与自我发现，注重挖掘教材的能力生长点，挖掘教材的内涵，着眼于学生可持续发展的需要，为学生的终身发展奠定基础。
图1-3
图1-2
图1-5
图1-4
图2-1
图2-2
图2-3
图2-4
90°
150°
X°
150°
120°
X°°
X°
140°
2x°
多 边 形 的 内 角 和
第一课时教学设计
单位：青海油田实验中学
说课教师: 聂红霞
2010-9
七年级下册
多边形的内角和
一、教学目标
1、知识与技能：
掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。
2、过程与方法：
（1）通过测量，类比，推理等教学活动，探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。
（2）通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
（3）通过探索多边形内角和公式，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。
3、情感态度与价值观：
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，体验数学充满思考和创造的乐趣，从而提高学生的学习热情。
二、教学重点与难点
重点是：多边形内角和公式的探索与应用。
难点是：在探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
三、教学方法
互动式探究模式、启发式、发现式教学法。
四、教学工具
多媒体课件、投影仪、三角板。
五、教学过程
（一）创设情景，引入新课
问题1:三角形的内角和等于多少？(1分钟）
问题2:正方形、长方形的内角和都等于多少？
设计意图:从学生已有的关于三角形内角和的经验出发引出课题也易于学生接受，给学生一个小小的成功感，将会自觉参加探索四边形内角和的活动，并在活动中发挥积极的作用。
问题3：任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？
预设有以下几种回答方法，然后组织学生一一进行实践：（3分钟）
度量或剪拼操作：
学生分小组，分工协作画一任意四边形，借助量角器度量出四边形的各个内角，并计算所画四边形的内角和，你能得出什么结论？
小组得出的结论可能会有不同，引导学生注意度量时有误差，教师可借助多媒体演示度量结果，帮助学生用度量的方法得出任意四边形的内角和是360°。
设计意图：先验证度量和剪拼方法，让学生亲自操作度量寻求结论，易于引起学习兴趣，提供感性认知，培养动手能力，并且亲身感受到这两种方法的的不精确性和局限性，从而引发学生寻找新方法。
理论论证
度量法是解决四边形内角和最直接的方法，但是它有不足的地方。能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？你是怎样得到的？你能找到几种方法？
学生思考，并分组交流讨论，教师深入小组参与活动，指导、倾听学生交流。
学生分组选代表展示小组的探索成果,师生共同进行评判，对学生找到的不同方法要加以及时肯定。（6分钟）
学生使用的方法可能有：
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（1）过一个顶点画对角线1条，得到2个三角形，如图1，内角和为2×180°；
（2）画2条对角线，在四边形内部交于一点，得到4个三角形，如图2，内角和为4×180°-360°；若在四边形内部任取一点，如图3，也可以得到相应的结论；
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（3）这个点还可以取在边上，如图4，内角和为3×180°-180°；
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（4）点还可以取在外部，如图5，内角和为3×180°-180°，让学生课后思考这种方法。
设计意图：从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。并通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言表达能力。
教师总结：
利用辅助线把四边形的内角和转化为三角形的内角和，体现了化未知为已知的转化思想。以上这些方法同样适用于探究任意凸多边形的内角和。下面我们可以选用你最喜欢的方法来探究四边形、五边形、六边形，甚至任意n边形的内角和。
（二）自主探索，深化新知
动动手：（5分钟）
请你选择自己喜欢的方法分别求出任意五边形、六边形、七边形的内角和。
设计意图：通过增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解；同时，在四边形的基础上，通过自主探究继续探索连续整数边数的多边形的内角和与边数间的关系，为归纳n边形内角与边数的关系准备素材。 在探索的过程中再一次发展学生的推理能力和表达能力。
(六边形，七边形图见课件)
学生按不同思路上来用投影展示分割方法和计算过程。同时也锻炼了学生的几何语言表达和逻辑推理。（10分钟）
（三）类比探究、归纳验证
问题1：n边形的内角和如何表达？(6分钟）
多边形 边数 分成三角形的个数 图形 内角和 计算规律
四边形 4
五边形 5
六边形 6
七边形 7
… … … … … …
n边形 n
A、借助方法一探索多边形内角和：
引导学生寻找规律，归纳得到n边形的内角和可以表示为(n-2) ×180°。
B、借助方法二探索多边形内角和：
n边形被分成n个三角形，它的内角和就等于n×180°-360°。
C、借助方法三和四探索多边形内角和：
n边形被分成n-1个三角形，它的内角和就等于（n-1）×180°-180°。
学生按不同思路上来用投影展示分割方法和由此在形式上不同的表达式。
本次活动中,要重点关注：
(1)学生能否利用前面的多边形素材有条理地发现和概括出边数与内角和的关系；
(2)学生能否对不同的观点进行质疑,感受数学结论的正确性,验证结论的正确性。
设计意图：从探索四边形的内角和，到五边形、六边形、七边形乃至n边形，通过增强图形的复杂性，学生借助表格，自己观察总结规律，猜想出n边形的内角和，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法，再一次经历转化的过程，同时在分组交流的过程中，感受合作的重要性。
问题2：对于n边形的内角和，你们用了多种方法去探索，这几种方法得出的n边形的内角和一致吗？
引导学生得出(n-2) ×180°= n×180°-360°=（n-1）×180°-180°。
引导学生观察这几种方法都是把多边形转化成多个三角形来解决问题，得到n边形的内角和公式。
n边形内角和等于（n－2）× 180°
设计意图：三个表达式在形式上各不相同，让学生去发现它们的联系，化归为一简单的表达式，从而验证了数学结论的确定性。通过公式的归纳过程,体会数形之间的联系,感受由按特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法.在交流与合作的过程中,感受合作的重要性.同时也获得成功的体验。
（四）应用新知，尝试练习（5分钟）
练习1、你能说出八边形的内角和吗？十边形呢？
练习2、一个多边形的内角和是1260°，请问它是几边形？
练习3、求下列图形中x的值
设计意图：请学生应用公式计算，使他们体会到公式的便利作用，及应用自己研究成果的愉悦；用公式解决问题，体现新知的应用价值，使学生获得成功感。
本次活动中，要重点关注：
（1）学生是否运用多边形内角和公式解决问题；
（2）学生能否有条理的表达自己的思考过程；
（3）学生能否通过自我评价了解自己对知识的掌握程度；
（4）学生从中是否感受了数学结论的严谨性。
（五）归纳总结，形成体系（3分钟）
学生采用合作小组小结方式，谈谈收获和体会，最后老师总结。
问题一：这堂课我们主要学了哪些知识？
问题二：这堂课我们体会到了哪些数学思维方法？
问题三：在这堂课里，你最大的收获是什么？最愉悦的事情是什么？
教师总结：
1、探索了n边形的内角和公式（n一2）·180°。
2、未知的多边形内角和转化为已知的三角形内角和。
3、多边形的内角和公式的应用：
（1）已知边数如何求内角和；
（2）已知内角和如何求边数。
设计意图：在小结部分采用合作小结方式，让学生思考、交流，谈谈收获和体会。有利于落实教师主导、学生主体地位。合作小结也有助于训练学生概括归纳能力，同时有助于学生在归纳概括过程中把所学知识条理化、系统化 。
拓展延伸（课后思考）
小明曾有一个设想：2010年世博会在上海举办，他设计一个内角和是2010°的多边形图案会很有意义，你认为小明的想法能实现吗？
设计说明：通过这道题，使学生更进一步理解和灵活运用多边形的内角和来解决问题。
（六）布置作业
必做题：习题7.3 2、5
选做题：习题7.3 7
思考题：习题7.3 8
设计说明：根据学生的个体差异，遵循因材施教的原则，我设计了分层作业，使不同层次的学生都能通过作业巩固本节基础知识，并力图形成技能。使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。从而落实因材施教，体现新课程理念。（1分钟）
（七）板书设计
7.3.2多边形的内角和
一、四边形内角和探究
二、五、六、七边形内角和探究
三、归纳n边形内角和公式（n-2)180°
练习1
练习2
练习3
练习4
小结
公式互化
课后反思：本节课教学整体效果很好。该班级学生的程度较好，在探究中能够积极参与活动，思维活跃，想法新颖，使课堂教学充满活力。一系列的课堂练习设置充分调动了学生的参与热情，多数学生学习效果较好，达到了预期目的。个别学生课上有吃力的表现，尽管及时进行了帮助，课下还要及时进行进一步的关注。
本节课的教学实践让我再次体会到：课堂上的真正主人应该是学生。教师只是一名组织者、引导者、参与者。一堂好课，师生一定会有共同的积极的情感体验。 本节课教学中，各知识点均是由学生自主探索和合作交流中发现的，学生充分经历了探索与发现的过程，这正是新课程所倡导的学习方法。教学中没有将重点放在大量的练习上，而是定位在多边形的内角和公式形成的探索过程，这是更加注重培养学生能力的体现，今后的教学中还要继续注重引导学生自我探索与自我发现，注重挖掘教材的能力生长点，挖掘教材的内涵，着眼于学生可持续发展的需要，为学生的终身发展奠定基础。
图1-3
图1-2
图1-5
图1-4
图2-1
图2-2
图2-3
图2-4
90°
150°
X°
150°
120°
X°°
X°
140°
2x°