【中学教材全解】2013-2014学年高二数学（人教B版选修1-2）：第三章 数系的扩充与复数的引入 本章练测（含详细解析）

第三章 数系的扩充与复数的引入（数学人教B版选修1-2）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1. 下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
正确命题的序号是(　　)
A．①　　　B．②　　　C．③　　　D．④
2. i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
3. 设是原点，向量对应的复数为
那么向量对应的复数是（ ）
A. B.
C. D.
4. 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．a＝0?z＝a＋bi为纯虚数
B．b＝0?z＝a＋bi为实数
C．a＋(b－1)i＝3＋2i?a＝3，b＝－3
D．－1的平方等于i
5. 设则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6. 在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
7. 若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－
5)i对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8. 设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t ∈R，则以下结论中正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
9. 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)
A.2　　　　　　 B.－2
C.－ D.
10. 已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是(　　)
A．－B．x<2
C．x>－
D．x＝－或x＝2
11. 已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|<|z2|，则实数b适合的条件是(　　)
A．b<－1或b>1
B．－1C．b>1
D．b>0
12. 设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等
于(　　)
A．－＋i B. －i
C．－－i D. ＋i
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填到横线上）
13. 已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝________.
14. 已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3cos θ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是______．
15. 已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应的点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．
16. 已知，其中为实数，是虚数单位，则 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）
17.（10分）已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
18．（12分）实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点：
(1)位于虚轴上；
(2)位于一、三象限；
(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．
19．（12分）设复数若求实数的值．
20.（12分）设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，求.
21.（12分）已知复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围．
22.（12分）设z∈C，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？
(1)|z|＝4；
(2)2<|z|<4.
第三章 数系的扩充与复数的引入（数学人教B版选修1-2）
答题纸
得分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13． 14． 15. 16.
三、解答题
17.
18.
19.
20.
21.
22.

第三章 数系的扩充与复数的引入（数学人教B版选修1-2）
答案
一、选择题
1.D 解析：复数a＋bi(a，b∈R)当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误．在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误．a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误．④正确．故应选D.
2.A 解析：i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
3. D 解析：
4.B 解析：a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i?a＝3，b＝3，C错误．
(－1)2＝1，D错误．故应选B.
5.D 解析：由故其对应的点位于第四象限.
6.C 解析：由题意知A(6,5)，B(－2,3)，设线段AB的中点为C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，
∴ 点C对应的复数为2＋4i，故选C.
7.D 解析：a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
所以复数对应的点在第四象限，故应选D.
8.C 解析：∵ 2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴ 排除A、B、D，选C.
9. A 解析: 方法一：因为＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2.
方法二：因为＝为纯虚数，所以a＝2.
10.A 解析：由题意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，解得－11.B 解析：由|z1|<|z2|得<，∴ b2<1，则－112.D 解析：设z＝x＋yi(x、y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，
∴ 解得∴ z＝＋i.
二、填空题
13.1 解析：复数z能与0比较大小，则复数z一定是实数，由题意知解得x＝1.
14. [3,5] 解析：∵ z1＝z2，∴ ∴ λ＝4－cos θ.
又∵ －1≤≤1，∴ 3 ≤ 4－cos θ ≤5，∴ λ∈[3,5]．
15.（3，5） 解析：将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i，
∵ 复数z对应的点位于复平面上的第二象限，∴解得316. 解析：由可得由是实数，得解得故
三、解答题
17. 解：(1)当z为实数时，则有所以
所以当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有所以即a≠±1且a≠6.
所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有所以
所以不存在实数a使得z为纯虚数．
18.解：(1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.
(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)>0，解得m<－2或0(3)若对应点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则＝4，
即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
19. 解：
得
∴ ∴
20. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
由z＋＝4，z ＝8，得 ∴
∴ z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，
∴ ＝＝－i或＝＝i.∴＝±i.
21.解：z＝＝＝＝＝1－i.
∵ ω＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i，∴ ＝＝＝.
∴ ＝≤，∴ a2－2a－2≤0，∴ 1－≤a≤1＋.
故a的取值范围是[1－，1＋]．
22.解：(1)复数z的模等于4，就是说，向量的模等于4，
所以满足条件|z|＝4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆（如图1）．

图 1 图2

(2)不等式2<|z|<4可化为不等式组
不等式|z|<4的解集是圆|z|＝4内部所有的点组成的集合，不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是不等式组所表示的集合．容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图2）．