4.2.1 等差数列的概念2 课件（共16张PPT）
文档属性
| 名称 | 4.2.1 等差数列的概念2 课件（共16张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-01 11:56:49 | ||
图片预览
文档简介
4.2.1 等差数列的概念2
第二章 数列
新知巩固
1.等差数列的定义：
2. 通项公式：
{an}为等差数列 ?
4. 等差数列的判断:
an+1- an=d
an+1=an+d
?
?
an=p n + q (p、q是常数)
?
an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*)
an =a1+(n-1)d
3.等差中项：
这三个数满足关系式：
A=????+?????2
?
????????+????=????????+????????+????????
?
?d=??????????????????????????
?
等差数列各项对应的点都在同一条直线上，公差对应直线斜率
5. 几何意义:
新课引入
例.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．
由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．
所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.
因为a1＝220－d，
所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由题意，得a10≥11，a11＜11.
即：220－10d≥11220－11d＜11 解得19所以，d的求值范围为19?
练习.等差数列的首项为1，且从第9项开始各项均大于25，求公差d的取值范围．
新课引入
例1. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，????=????,在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
?
解：（1）设等差数列????????的公差为????.
∵b1=????????, b5=????????, ∴ b5??b1 =???????? ??????????=8
∵b5??b1 =????????′, ∴????????′ =8, ????′ =????,
∴????????=????+(?????????) 2=2????
所以数列????????的通项公式是????????=2????
?
（2）数列????????的各项依次是数列????????的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列????????，则????????=4???? ??3
令4???? ??3=29, 解得:???? =8
所以， b29是数列的第8项
?
如果插入k个数，那么{bn} 的公差是多少？
等差数列的性质
如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 ????(????∈?????)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.
?
你还有其他解决方法吗？
新课引入
新课引入
2. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
1. 在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝( )
A．9 B．12 C．15 D．18
练习:
新课引入
性质一：
探究点二
例2.已知等差数列???????? 中，????????, d是常数，试求出????????的值.
?
新课引入
－7
3.若x≠y，且两个数列????，????????，????????，????和????，????????，????????，????????，????各成等差数列，求 .
?
练习:
1.等差数列{an}中, a2=－5, a6= a3 +6,则a1 =_______
2.等差数列{an},若a12=23，a42=143， an=263，求n.
新课引入
探究点三
例3. 已知数列???????? 是等差数列，????,????,????,????∈?????,且 ????+????=????+????，求证:????????+????????=????????+????????
?
特例：若
则
新课引入
性质二：等差数列???????? ，若????,????,????,????∈?????,且 ????+????=????+????,则????????+????????=????????+????????.
?
例3 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
思路：??????????????????????????=??????????????????????????
∵????+????=????+????,
∴ ?????????=?????????
∴?????????????????=?????????????????
∴????????+????????=????????+????????
?
新课引入
例4 .在等差数列{an}中，a6＝19 ,a15=46，求a4+a17的值．
练习.在等差数列{an}中，
(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20
(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8
(3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
新课引入
例5.已知 a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.
法1：
法2：
设此数列的公差为d,根据题意得：
新课引入
解：
设此等差数列的公差为d,则：
新课引入
例6.（1）已知三个数成等差数列，它们的和为15，积为80，求这三个数；
（2）已知四个数成等差数列，它们的和为34，中间两个数的积为70，求这四个数.
新课引入
等差数列的综合应用
例7.已知数列{an}是等差数列,cn=????????????-????????+????????(n∈N*).
(1)判断数列{cn}是不是等差数列,并说明理由;
(2)如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,试求数列{an}的公差d及通项公式.
?
解:(2)因为a1+a3+…+a25=130,
a2+a4+…+a26=117,
所以两式相减得13d=-13,所以d=-1.
因为a1+a3+…+a25=130,
所以13a13=130?a13=10?a1+12d=a1-12=10,
所以a1=22,所以an=22+(n-1)×(-1)=23-n.
课堂小结
3.等差数列的性质
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
(1) an=am+(n-m)d
1.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数)
2.判断等差数列的方法:
(定义法)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数
(中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系
第二章 数列
新知巩固
1.等差数列的定义：
2. 通项公式：
{an}为等差数列 ?
4. 等差数列的判断:
an+1- an=d
an+1=an+d
?
?
an=p n + q (p、q是常数)
?
an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*)
an =a1+(n-1)d
3.等差中项：
这三个数满足关系式：
A=????+?????2
?
????????+????=????????+????????+????????
?
?d=??????????????????????????
?
等差数列各项对应的点都在同一条直线上，公差对应直线斜率
5. 几何意义:
新课引入
例.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.
解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．
由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）．
所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.
因为a1＝220－d，
所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由题意，得a10≥11，a11＜11.
即：220－10d≥11220－11d＜11 解得19
练习.等差数列的首项为1，且从第9项开始各项均大于25，求公差d的取值范围．
新课引入
例1. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，????=????,在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
?
解：（1）设等差数列????????的公差为????.
∵b1=????????, b5=????????, ∴ b5??b1 =???????? ??????????=8
∵b5??b1 =????????′, ∴????????′ =8, ????′ =????,
∴????????=????+(?????????) 2=2????
所以数列????????的通项公式是????????=2????
?
（2）数列????????的各项依次是数列????????的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列????????，则????????=4???? ??3
令4???? ??3=29, 解得:???? =8
所以， b29是数列的第8项
?
如果插入k个数，那么{bn} 的公差是多少？
等差数列的性质
如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 ????(????∈?????)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.
?
你还有其他解决方法吗？
新课引入
新课引入
2. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
1. 在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝( )
A．9 B．12 C．15 D．18
练习:
新课引入
性质一：
探究点二
例2.已知等差数列???????? 中，????????, d是常数，试求出????????的值.
?
新课引入
－7
3.若x≠y，且两个数列????，????????，????????，????和????，????????，????????，????????，????各成等差数列，求 .
?
练习:
1.等差数列{an}中, a2=－5, a6= a3 +6,则a1 =_______
2.等差数列{an},若a12=23，a42=143， an=263，求n.
新课引入
探究点三
例3. 已知数列???????? 是等差数列，????,????,????,????∈?????,且 ????+????=????+????，求证:????????+????????=????????+????????
?
特例：若
则
新课引入
性质二：等差数列???????? ，若????,????,????,????∈?????,且 ????+????=????+????,则????????+????????=????????+????????.
?
例3 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
思路：??????????????????????????=??????????????????????????
∵????+????=????+????,
∴ ?????????=?????????
∴?????????????????=?????????????????
∴????????+????????=????????+????????
?
新课引入
例4 .在等差数列{an}中，a6＝19 ,a15=46，求a4+a17的值．
练习.在等差数列{an}中，
(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20
(2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8
(3)已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
(4)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
新课引入
例5.已知 a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.
法1：
法2：
设此数列的公差为d,根据题意得：
新课引入
解：
设此等差数列的公差为d,则：
新课引入
例6.（1）已知三个数成等差数列，它们的和为15，积为80，求这三个数；
（2）已知四个数成等差数列，它们的和为34，中间两个数的积为70，求这四个数.
新课引入
等差数列的综合应用
例7.已知数列{an}是等差数列,cn=????????????-????????+????????(n∈N*).
(1)判断数列{cn}是不是等差数列,并说明理由;
(2)如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,试求数列{an}的公差d及通项公式.
?
解:(2)因为a1+a3+…+a25=130,
a2+a4+…+a26=117,
所以两式相减得13d=-13,所以d=-1.
因为a1+a3+…+a25=130,
所以13a13=130?a13=10?a1+12d=a1-12=10,
所以a1=22,所以an=22+(n-1)×(-1)=23-n.
课堂小结
3.等差数列的性质
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
(1) an=am+(n-m)d
1.数列{an}是等差数列 an=p n + q (p、q是常数)
2.判断等差数列的方法:
(定义法)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数
(中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系