人教A版（2019）高中数学必修第二册 10.1.4概率的基本性质 教学设计（表格式）

10.1.4 概率的基本性质
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.1.4 概率的基本性质》，本节课主要从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之家的关系等等，注意对概率思想方法的理解。发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标 学科素养
A.理解两个事件互斥、互为对立的含义. B.理解概率的6条基本性质,重点掌握性 质3、性质4、性质6及其公式的应用条件. C.能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题,培养数学建模和数学化归能力. 1.数学建模： 事件关系于概率性质 2.逻辑推理： 事件互斥、互为对立的含义 3.数学运算： 运用概率性质计算概率 4.数据抽象： 运用集合的观点分析事件关系
1.教学重点：掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.
2.教学难点：理解两个事件互斥、互为对立的含义.
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教学过程 教学设计意图 核心素养目标
探究新知 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质，例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用，类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质. 我们从定义出发研究概率的性质， (1)概率的取值范围； (2)特殊事件的概率； (3)事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等。 1.概率P(A)的取值范围 由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生，一般地，概率有如下性质： 性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0, 即P(Ω)=1,P(Φ)=0. 2. 概率的加法公式 ( 互斥事件时有一个发生的概率) 性质3.如果事件A与事件B互斥, 那么P(A∪B)=P(A)+P(B) P(C)=p(A∪B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3 因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(AU B)=n(A)+n(B),这等价于P(AUB)=P(A)+P(B),即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和，所以我们有互斥事件的概率加法公式： [破疑点]　①事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用． ②如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和． ③在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件, 那么P(B)=1- P(A), P(A)=1- P(B) [破疑点]　①公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．②当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率． 3.对立事件有一个发生的概率 例1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中： (1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率． [解析]　(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49. (2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面为大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理． 设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥的事件， ∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03. ∴不够7环的概率为0.03. 一般地，对于事件A与事件B,如果A B,即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率。于是我们有概率的单调性： 在古典概型中，对于事件A与事件B,如果A B,那么n(A)≤n(B).于是 即P(A)≤ P(B) 性质5.如果A B,那么P(A)≤P(B) 由性质5可得,对于任意事件A,因为Φ A Ω,所以 0 ≤ P(A) ≤1. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”, “两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2). 因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10, 所以P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1, R2不是互斥的, 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2). 一般地，我们有如下的性质： 性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B) 由性质5可得,对于任意事件A,因为Φ A Ω，所以 0 ≤ P(A) ≤1. (1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式. (2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1; 若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立. (3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B), 当A∩B=Φ时,就是性质3. 例2.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么 (1)C=“抽到红花色”，求P(C); (2)D=“抽到黑花色”，求P(D). 解：(1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生， 所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式， 得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5 (2)因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件， 所以C与D互为对立事件. 因此P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5. 例3.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？ 分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况。如果设A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”，A2=“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题. 解：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件A1A2=“两罐都中奖”，A1 2=“第一罐中奖，第二罐不中奖”， 1A2=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A=A1A2∪A1 2∪ 1A2.因为A1A2,A1 2,A1 2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A1 2)+P( 1A2). 我们借助树状图来求相应事件的样本点数. 可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30,且每个样本点都是等可能的. 因为n(A1A2)=2,n(A1 2)=8,n( 1A2)=8,所以 法2:注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”， 由于 =“两罐都不中奖”，而 n( )=4×3=12, 所以 由知识回顾，类比提出问题。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。 通过具体问题的事件分析，归纳出概率性质。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 通过实例分析，让学生掌握概率性质，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测 1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 解析:对立必互斥,互斥不一定对立,故②③正确,①错;又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),故④错;只有事件A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),故⑤错. 2.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是(　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:该子集恰是{a,b,c}的子集的概率为P=1-. 3.若事件A,B满足A∩B= ,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,则P(B)=　　　　. 答案:0.7 4.盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黄球的概率是0.18,则摸出的球是白球的概率是　　　　,摸出的球不是黄球的概率是　　　　,摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率是　　　　. 答案:0.40　0.82　0.60 5.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至少有一根熔断的概率是多少 解:设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =0.85+0.74-0.63=0.96. 6.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表: (1)求至多2人排队等候的概率; (2)求至少2人排队等候的概率. 排队等候的人数012345人及5人以上概　　率0.10.160.30.30.10.04
解:记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥. (1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”, 而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26, 故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。
四、小结 1.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B). 2.在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和. 二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P( )来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍. 五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
本节课主要学习概率的基本性质，注意运用集合运算的观点分析学习。概率的性质主要是用于求复杂事件的概率， (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率等等。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
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