1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第二课时） 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
1.4.2 用空间向量研究距离、
夹角问题
第2课时 用空间向量研究夹角问题
学 习 任 务 核 心 素 养
1.能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角．(重点、易混点) 2.能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题．(重点、难点) 3.能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1.通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养.
2.通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题，提升逻辑推理和数学运算素养.
与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量．我们能否用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角？
探究一、用向量求异面直线所成的角——线线角
则
两条直线的方向向量的夹角与两异面直线所成角关系是什么？
提示：相等或互补．两条直线的方向向量的夹角为锐角(直角)时相等，夹角为钝角时互补．
思考：以上我们用向量解决了异面直线 AM 和 CN 所成角的问题，你能用向量方法求直线 AB 和平面 BCD 所成的角吗？
类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角
探究二、用向量求直线与平面所成的角——线面角
斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成角.
探究三、用向量求两个平面的夹角
两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
二面角的范围：
一、用向量求异面直线所成的角
二、用向量求直线与平面角
三、用向量求两个平面的夹角
总结：
解：①化为向量问题
例1、如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.
②进行向量运算
③回到图形问题
(1)几何法
解决此类问题，关键是通过平移求解．过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围．
(2)向量法
利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ 转化为两直线的方向向量所成的角 ，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即 .
求异面直线所成的角的两种方法
课本P38
2.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的的余弦值是( ).
例2、PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的的余弦值是( ).
C
　
(1)几何法
找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
(2)向量法
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量 ；
③求平面的法向量 ；
④计算：设线面角为θ，则 .
求直线与平面的夹角的方法与步骤
解：①化为向量问题
分析:因为平面 PQR 与平西面A1B1C1的夹角可以转化为平面 PQR 与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可.
例3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1，求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
②进行向量运算
③回到图形问题
　
(1)几何法
在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，把平面角放到三角形中求解．
(2)向量法
①建立空间直角坐标系；
②求出两个半平面的法向量 ， ；
③设二面角的平面角为θ，则 ；
④根据图形判断 θ 为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数).
求平面与平面的夹角的方法与步骤
1、在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°,D1,F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC= CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
A
课本P38
3： 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值.
A
B
C
A1
B1
C1
O
y
z
D
x
4、如图，ABC和DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD. ∠DBC=.
(1) 直线AD与直线BC所成角的大小；
(2)直线AD与平面BCD 所成角的大
(3)平面ABD和平面BDC 的夹角的余弦值.
A
B
C
D
x
y
z
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成栋梁才