2023届湖北省宜城六校高三上学期期中考试 数学试题（PDF版含答案）

2022 -2023学年上学期高三期中考试
数学试题
考试时间： 2022. BO. 26 15 :00 -17 :00 时 F!l:120 （分钟） 分位：150 （分）
注意事项：
I.答卷前 ，考生务必将姓名 、 准考证号等在答题卷土填写清楚。
2. 选择题答案用 2B 铅笔在答题卷土把对 应题目的答案标号涂黑 ， 非选择题用
0.5mm 的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答 ，答在试越卷土元效。
3.考试结束后，将本试卷和答是且卡一并交回。
一 、 单项选择题：本题共8小题 ， 每小题5分， 共40分。在每小题给出的四个选项中 ， 只有
一项是符合题目要求的。
I.设集合 A= I 荡 I Ix -31 <2! ,8 = Jyl2'-' - I ＞剖 ， 则 A nB=(
A.(3,5) B.(1,5) C.(J,+oo) D.(3,+oo)
2. 当 I A第一象｜恨 B.第二象限 C第三象限 D第四象｜很
3.已知平丽向量 a,b ， 满足Ia I = I , I b I =2 , I a -2/J I =3 贝1Ja·b=(， )
A. -2 B. - l c. l 。 2
4. 已知 tana =2 ，则 sinacosa = (
A. －号 B. -+ c.f o.f
5. 已知函数J（叫＝ sinx,g(x) =cosx,p(x) ＝劣 ， 则图像为下图的函数可能是（
Aγ＝ 一丑年L一 3飞
' 2 + 1／（叶｜
B. γ ＝ --11三L
J 2 +g（丸’）
x
c.,, ＝ 且坚2..!..
J 2 +J（ 丸’）
0. 'I＇＝」年L
’ 2 +J(x)
六校联考高三期中考试数学试题 第l页（共4页）
6.我们可以把（1+1%）阳 右－作每天的 “ 进步 ” 率都是1% ， 一年后是I. 0 I J<.s ；而把
(1-1%）耐看作每天的“ 落后” 率都是1%，一年后是 :i<;o. 99 s 可以计算得到 ，一年后的
的
进步 ”是“ 落后”
3
的一l. 01 ＝1481倍．如果每天的“ 进步” 率和 “ 落后 ”0. 99＇… 率都是
20% ，大约
经过（ ）天后 “ 进步”是“， 落后” 的10000倍.( lg2 =0. 301 ,lg3 =0. 477)
A.17 B.18 C.21 0.23
7.已知｜函数 f（ 吵＝ m:i:1 + ln， + I 的图像在（IJ(I））处的切线过点（2,8） ， 则 rn = ( )
A÷ B.2 C. 3 0.4
8. 已知α＝ log片 ，b = log,,5 ,c = log56 ， 则下列说法正确的是（
A.α ＞b>c B.α ＞ c>b C. b >c ＞α D. c ＞α ＞ b
二 、多项选择题：本题共4小题，每小题5分 ， 共20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求 ， 全部选对的得5分 ， 部分选对的得2分 ， 有选错的得0分
9.已知命题p：“ \f XE (Q , + 00 ) + J；坷”’,X ．下列说法正确的是（ ）
A.p 为真命题 B.p 为假命题
C 『p: :3忑e(O,+oo） ， 忑＋I ,;,:e' D.『p: :3 荡 e(O,+oo） ， 忘＋I< e '
JO.已知函数 f(x) =sin〔 2x- E.3 )+2 ， 下列说法正确的是（
A函数 ！（ 丸’）的阁像可以向 g （ 丸’） = sin2x+ 2 的罔像向右平移？个单位得到
B.函数 ！（ 川的一条对称怕是 x ＝ 12
C函数 f(x ） 的对称中心是（E. 坦6 ＋ 2 ，O)(keZ)
D.函数 f（ 叶的单调递增区问是（如－ 丘12 ，何＋ 12 ） （keZ)
l l.定义在（0,+oo）伫的函数 ！（ 付 ， 满足可｛ x) ＋扩 （ x)＝斗，且 f(I) =0 ，下列说法正确
的是（
A.f（ 忽）＝！号 B.J(x ） 的极大值为去
C.f（ 叶有两个零点 D.j{../i) >J(/3)
12.己知函数 ＇） ＝！（ 志）在［川 ， n ］ 上的图像的两个端点分别为 M （川 ，f(,n)) ,N （ 儿 ，f( n))
设 A （ α J（ α））是）＇ = j( x）图像卜任意一点 ， 其中α ＝ m.+(1 － ） 凡 ， （0< <1),
BN ＝ 丽．若不等式 l.ABI 剖恒成立 ， 则称函数 ＇） ＝.／（后）在［川 “ ”， n］上为 k 函数．着函
数｝＇ =3元＋ 在［1, 4］上为 “ k函数 ， 则下列能够满足条件的 k的值有（ ）
A÷ B.I
3
nL－ 0.2
2
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三 、 填空题：本题共4小题，每小题5分 ， 共20分
13.复数r主寸寸ι的·共事·E复数的虚询：为., ＋件
14.设点M是口ABCD 的别角线的交点， 0为任意一点， 满足 QA ＋ 苟＋芮＋而＝λ百页 ，
贝ljλ为－一一一－
15.已知－3 rm.x ,.x ,;;,O
16.已知函数f(x) = i p' ，走去函数 h(x) =f（ 叫 ＋f( －付的零点一共有3个 ， 则实数 m.
Iι :x>O
1 ：您
的取值为
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分， 其他每题12分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
17.巴知函数只宠） = ./fsjn2笃＋ 2cos2x + 11
(1 ）习己常数川的值；
( 2 ):(±: .6ABC 中，叫？）式求sinA +s i
18.已知k为实数 ， 命题甲：关于烈的不等式 2 3 2kx 叫百－一8 ＜0的解ti；为此命题乙：关于第
的方程 1x -2加 ＋ k +6 ＝。有两个不相等的负实根．
( I ）若用为it；命题 ， 求实数k的取值范围；
(2）若甲 、 乙至少有一个为真命题 ， 求实数k的取值范闺．
19.已知.6ABC 的内角 A,8,C 所对的边分别是α ， b,c ， 向盘 ,n ＝仰 ， ./3a) , n = ( cosC,
sinC） 且 m · //. =b +c.，
(1 ）求角A ；
(2）若α ＝W, .6ABC 的面积为2,,/言， 求 b ,c.
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20.已知函数f（ 川的定义域为民且 J( lnx）…÷＋2.
(1）判断 f（ 时的奇偶性及f(x ） 在（O,+oo）上的单调性 ， 并分别用定义进行证明；
(2）若对'ef x E ［叶 ， 叶 ，af（丸’） f(2x’） +2α恒成立 ，求实数α的取值范围．
21.环境污染日益严重 ， 某科研单位为了净化空气 ， 进行实验研究发现 ， 在一定范围内 ， 每
琐汹l个单位的净化剂 ， 空气中粹放的浓度 t （ 单位：毫克／立方米）随着时间丸’（单位：
天）变化的关系如下·当0 飞,·白
一
＜悠，，：：飞10时， 问 --2. 如果进行多次
笨
琐l洒 ， 则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度
之初．由实验可知 ， 当空气中净化剂的浓度不低于4毫克／立方米时 ， 它才能起到净化
空气的作用
(1）着一次喷汹 4 个单位的净化剂 ， 则有效净化时间可达儿天？
(2）若第一次喷洒2个单位的净化剂 ，6天后再喷洒川(l ，n 4）个单位的净化剂 ， 要使
接下来的4天能创纠、i续有效净化， 试求川的最小值．（精确到O I ， 参考数据：/2=1.4)
叫函数f（ 叫＝lnx-ax趴）＝f(x)-2节严＋ω
( I ）求g（ 叶的零点个数；
(2）若 J(x ） 的两个相异零点为川 2，引求证：纠纠＞e .
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2022-2023学年上学期高三期中考试
数学答案
一、单项选择题〈每题5分，共40分〉
｜ 题号 I 1 I 2 I 3 I 4 5 6 7 8
｜ 答案 I A I B I D I D D D 13 A
二、多项选择题〈每题5分，共20分〉
9 I 10 I 11 12
回国 BD I BD I AB BCD
三、填空题〈每题5分，共20分〉
.2
13. _ 2.25 14. 1 15.
9 162 .二－4
四、解答题〈共70分〉
17. (l)f(x)=.J言sin2x+cos2x+l+m=2sin(2x+!:.)+l+m ·················· (2分〉
6
xε ［ 0, ］. 2x + ε ［ ，号］ , sin(2x + ） ε ［－f' 1]
= 3 m = 3 ，则m=O········….........…................….........… （4分〉f (x)max +
(2) ref)=2 sin(2 ×f ＋ ）＋ 1=2, Cε （川，所以 C＝子 …………... (6 分）
A+B+C ＝ π，则A+B ＝
sinA
A<
r。 干 B ＜ i → O，则A ＋ εG号）， sin(A ） ε （子， 1］……（9分〉A+B= +
所以sinA + sinB的最大值为1 …………………………………………… （ 10分〉
18. Cl ）由命题甲，关于X的不等式 2时 ＋ kx － ＜ 0 的糊为 R
当 0 时， － ＜ 0 恒成立： …………………………………………….. (2k = 分〉
当k 学 0 时 ， 则满足l( k ＜。 O········….. .. . .. . .. (4分〉lt1 = 2 0 ’ 解得－3 < k < k + 3k <
综上： －3 ::, 0 ………………………………………………………… （ 分〉< k 6
(2）由命题乙：关于 的方程 2x x - 2kx + k + 6 = 0 有两个不相等的负实数粮，
(ti 4k2 = - 4(k + 6) > 0
则满足｛ X + Xz = 2k < 0 ，解得－6 < k <- 2 ........................... (9分〉1
l X1Xz = k+6>Q
又由 (1）知甲为真时 ， －3 < k 三。
所以甲 乙至少有一个为真命题时 可得－6 < k 0 . .. .. .. .. .. .. .. ..、 .. ( 12， 分〉
19. (1) m·n＝ αcosC + V3asinC = b + c,
根据正弦定理 ， RPsinAcosC + V3sinAsinC = sinB + sinC,
因为sinB = sin(A + C） ， 得sinAcosC + V3sinAsinC = sin(A + C) + sinC ， 由sinC > 0,
整理衔 ， 品inA - cosA = L l'!P 2sin(A - ） = 1, sin(A - ） = i …......... (4， 分〉
A－ ＝ 或号，得A＝ 或π 〈舍去〉，即A＝：….................................... (6分〉
(2) S BC = tbcsinA ＝子be= 2♂ be= 8…………………………………… ωt,.A ， 分〉
根据余我定理 ， 得α2 = b2 今 c2 - 2bccosA = (b + c)2 - 2bc - 2bccosA,
则 12 = (b + c)2 -24, (b + c)2 = 36, b + c = 6…………………………… （ JO 分〉
又be=8，则已 . . ( ：；或｛ · 12分〉：：；
20. ( l ）令t = lnx ， 贝 tER, x=et , f(t)=et +e-t +z
所以f(x)=ex+ e-x + 2, x ε R .................….........…................... (2分〉
f(x）为偶函数 ， 下面证明－
f(x）的定义域为R ， 关于原点对称：
'r;fx εR ， 则 － x εR, f(- x) e-x +ex+ f（功 所以 f（均为偶函数……= 2 = ， （ 4分〉
f(x）在（O, + ＝）上的正在调递增 ， 下面利用定义法证明：
'r;/X 1, Xz ε（O, + oo), Xi ＜ 巧，
f (xi) - f(xz) = ex, + e-xi + 2 - (ex2 + e-x2 + 2)
ex1+x2 1
= eX - e巧＋ e-x1 _ e-x2 = (ex _ e"2）τ市xi"""- ( 5 分〉
因为 X1 , Xz E (O, + 00), X1 ＜勺 ， 所以ex, < eXz, ex, +x2 > 1,
所以宗主！ > 0, ex - ex2 < 0，贝1lf(x1 ) - f(x2) < 0
即f(xi) < f (x2），所以f(x）在（0, ＝）上的单调递增． …………………………+ （ 6分〉
(2 ）由题意知， 'r;fx ε （ - 1,1], a[f(x) - 2] 三 f(2x）恒成立，
因为f(x) =ex + e-x + 2, f(x）在（O, + ＝）上的正在调递增 ， 1 . f(x）为偶函数 ，
所以当xε ［ － 叫时 ， f(x） ε ［们＋；＋ 2), f(x)- 2 三 2,
自Hα〈血气在XE［ － 叫恒成立 所以α〈（丘立） .......................…. (8分〉－ ，、， － ， － 飞f(x)-2/ 11 n
匀。）＝ ＝与学＝们俨， 9(x）与f(x） 邸， 叫上的单调性相同，
f(x)-2
所以o(x）注 2, ｛丘立） = 2 ….....................................…· · · · · · · · ( 1， 1分）飞f(x)-2/min
所以α三2.………………………………………………………………… （12分〉
21. (1）因为一 次喷洒4个单位的净化剂 ，
所以浓度t1 可以表示为当 o::;x:,;4 时， ti = 4 x 艺＝ 4 ×（ －←去 － 4;
当 4当 o::;x:,;4 时 ， t,- ＝乒 － 4 兰 4 ， 衔。三 x<8 ， 所以此时 0:,; x :,; 4 ...... (2分〉ts-x
当 4综上， o::;x:,;8
若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天…………………… ω分〉
(2）设从第 一 次喷洒起，经过x(6 :,; x:,; 10）天，
浓度t2 = 2 x ( S - ） + m x ［ - 1] = 10 -x ＋击－ m
= 14-x ＋ ．， － m-4 ………………………………………………… 优分〉
14-x
因为6 三二 x :,; 10，则 4 三二 14-x ::;;s 且 1 三二 m:,;4 则 4 三 4，.／百三 8…………， ， （9分〉
所以t2 = 14-x ＋击－ m-4 咄14 － 们告 － m-4 = 8而 － m-4… （JO分〉
当且仅当 14-x ＝击， l'lnx = 14-4飞历时 ， 等号成立
此时浓度 t2的最小值为 8..／百－ m-4
令 8而－m-4 4 ， 麟！得 24-16飞ff.:,; m:,; 4, 24- 16.fz a::: 1.6…………… （ I l 如
所以m的最小值约为1.6 ……………………………………………………… （12分）
22. (1) g(x) ＝阳－兽，定义域为xE(O, +oo)
1)2
g'(x) = －－一「
-
＝一(x一寸． ….................…….......…........….......... ( 分〉I
飞Z宁1)2 z飞Z宁且f
因为 ’xε （o, + oo），所以 9 （x） 三 0 恒成立，只有g'(l) = 0
所以 g(x）在（o, +oo）上单调递增，..................................…........... (3分〉
又g(l) = 0………………………………………………………………… 4（ 分）
所以当xε （o, +oo）时，g(x） 的零点个数为l.…..............….........……·5（ 分〉
( （／”
Y. (ln(X1X2) ＝γ. = rI α（X1 + X2)2）不妨设Xi > Xz > Q，由li；二：＝；二，得Jin芋＝ α（· x· i - xz)、 xz
则毕到＝出＝草丐 ，
令t ＝ 主＞ 1，即：且2＝旦， ln(x1x2) ＝勾21 (8 ：$忖1 叫 ： x2 Int t-1 c-1
要证X内＞ e2，只需证ln(x1x们2，只要证岂 lnt > 2,
即由nt ＞悍 （t > 1) · · · · · · · · · · ·………·例如
即证lnt － 丘二!l > o,
t+l
由 (1 ）中可知，当xε （L +oo), g(x)>g(l)=O,
所以阳－咨＞ 0 成立
故X1X > e2 . …………………………………… …………………………… （12 分〉2
其（ 他方法求解，酌情给分。〉