数学人教A版（2019）必修第一册5.3 诱导公式 课件（共44张ppt)

(共44张PPT)
5.3 诱导公式
第五章 三角函数
引 入
问题1：三角函数的定义？
问题2：由三角函数定义，我们得到了公式一及同角三角函数的基本关系，它的研究思路是什么？
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
公式一
k∈Z
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值的关系得到了公式（一）.
引 入
α∈(0°,90°)
180°＋α∈(180°,270°)
180°－α∈(90°,180°)
360°－α∈(270°,360°)
问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉的00～900间的角的三角函数求值问题呢？
圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.
探究新知
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P4(x4,y4)
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P3(x3,y3)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？
(2)作P1关于x轴的对称点P3，有什么结论？
(3)作P1关于y轴的对称点P4，有什么结论？
180°＋α∈(180°,270°)
P1(x1,y1)
O
x
α
y
P2(x2,y2)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
探究新知
P1(x,y)
O
x
α
y
P2(-x,-y)
π+α
以OP2为终边的角β=2kπ+(π+α)(k∈Z)
sinα=y
cosα=x
探究π+α与α的三角函数值之间的关系，
sin(π+α)= -y
cos(π+α)= -x
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
公式二
设P1(x,y)，由点P1与P2关于原点对称，得P2(-x,-y)
把α看成锐角时的符号
函数名不变，符号看象限
课堂练习
利用公式求下列三角函数值
探究新知
以OP3为终边的角β=2kπ+(-α)(k∈Z)
sinα=y
cosα=x
设P1(x,y)，由点P1与P3关于x轴对称，得P3(x,-y)
sin(-α)= -y
cos(-α)=x
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
公式三
P1(x,y)
O
x
α
y
P3(x,-y)
-α
探究- α与α的三角函数值之间的关系，
把α看成锐角时的符号
函数名不变，符号看象限
探究新知
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sinα=y
cosα=x
P1(x,y)与P4(-x,y)关于y轴对称
sin(π-α)=y
cos(π-α)= -x
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=- cosα
tan(π-α)= -tanα
公式四
P1(x,y)
O
x
α
y
P4(-x,y)
π-α
把α看成锐角时的符号
函数名不变，符号看象限
课堂练习
利用公式求下列三角函数值
探究新知
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
公式一
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
公式二
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
公式三
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=- cosα
tan(π-α)= -tanα
公式四
诱导公式
(公式一~公式四)
简记：
函数名不变，符号看象限.
例题讲解
例1
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0~2π的角的三角函数
锐角的
三角函数
用公式
三或一
用公式一
用公式
二或四
负化正，正化主，化到锐角再查表
随堂练习：
P191 1 2
例题讲解
例2
随堂练习：
P191 3
例题讲解
例2.已知,且为第四象限角，求的值.
解：∵,且为第四象限角,
∴.
∴
探究新知
P1(x-,y)
O
x
α
y
P5(x5,y5)
y=x
问题5：作P1关于直线y=x对称点P5，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ，α的三角函数值之间有什么关系？
sinα=y
cosα=x
x5=y , y5= x
公式五
因为P1(x,y)与P5(x5,y5)关于直线y=x对称
以OP5为终边的角
探究新知
问题6：分别作P5关于y轴、原点、x轴的对称点P6、P7、P8，你有什么新的结论？
P1(x,y)
O
x
α
y
P5(y,x)
y=x
P1(x,y)
O
x
α
y
P5(x5,y5)
P6(x6,y6)
O
P1(x,y)
x
α
y
P5(x5,y5)
P7(x7,y7)
O
P1(x,y)
x
α
y
P5(x5,y5)
P8(x8,y8)
探究新知
P1(x,y)
O
x
α
y
P5(y,x)
P6(x6,y6)
sinα=y
cosα=x
x6=-y , y6= x
公式六
因为P5(y,x)与P6(x6,y6)关于y轴对称
问题7
π/2+α的终边与α的终边有怎样的对称性？
以OP6为终边的角
α的终边先关于直线y=x对称，再关于y轴对称就得到 +α的终边
探究新知
sinα=y
cosα=x
x7=-y , y7=-x
公式七
P5(y,x)与P7(x7,y7)关于原点对称
以OP7为终边的角
问题8
3π/2-α的终边与α的终边有怎样的对称性？
α的终边先关于直线y=x对称，再关于原点对称就得到3π/2-α的终边
O
P1(x,y)
x
α
y
P5(y,x)
P7(x7,y7)
探究新知
sinα=y
cosα=x
x8=y , y8= -x
公式八
P5(y,x)与P8(x8,y8)关于x轴对称
以OP8为终边的角
问题9
3π/2+α的终边与α的终边有怎样的对称性？
α的终边先关于直线y=x对称，再关于x轴对称就得到3π/2+α的终边
O
P1(x,y)
x
α
y
P5(y,x)
P8(x8,y8)
探究新知
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：
探究新知
公式三：
公式一：
公式四：
公式二：
奇变偶不变，符号看象限.
公式五：
公式六：
公式七：
公式八：
例题讲解
例3
课堂练习
1.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°.
探究新知
例题讲解
例题讲解
例题讲解
例题讲解
例题讲解
题型一：利用诱导公式化简求值
例1.若那么的值为（）.
A. B.- C. D.
解：∵
∴
故选A.
例题讲解
题型一：利用诱导公式化简求值
例题讲解
例题讲解
1.求值问题中角的转化方法：
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0的角的三角函数
锐角的三角函数
公式
一或三
公式
一
公式二或
五或六
2.用诱导公式进行化简的要求：
三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单：
(1)化简后项数尽可能的少.
(2)函数的种类尽可能的少.
(3)分母不含三角函数的符号.
(4)能求值的一定要求值.
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
例题讲解
题型二：利用诱导公式证明恒等式
例2.已知求证：
证明：由，得
则原式左边
右边.
所以原等式成立.
例题讲解
证明等式的常见方法：
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消失差异.
例题讲解
题型三：诱导公式的综合应用
例3.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为
(1)求的值；
解：(1)∵的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，∴
∵∴
∴
例题讲解
例3.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为
(2)求的值.
解：(2)∵的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，∴
∵∴
故
例题讲解
变3.已知是方程的根，是第三象限角，
求的值.
解：方程的两根为，
∵∴
又是第三象限角，
∴
∴
例题讲解
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形.
例题讲解
题型三：诱导公式的综合应用—在三角形中的应用
例题讲解
例题讲解
例题讲解
课堂练习
又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，
解　因为A＋B＋C＝π，所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
所以△ABC为等腰三角形.
课堂小结
①三角函数的简化过程图：
任意负角的
三角函数
任意正角的
三角函数
三角函数
的
锐角的三角函数
用公式
三或一
用公式一
用公式
二或四或五或六
②三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角为终了.
符号看象限
奇变偶不变，
③诱导公式记忆口诀：
布置作业
（1）教材
（2）同步作业