高中数学人教A版2019必修第二册 10.1.3古典概型 导学案（含答案）

10.1.3 古 典 概 型
1.了解随机事件概率的含义及表示.
2.理解古典概型的特点和概率公式.
3.了解古典概型的一般求解思路和策略.
重点：了解随机事件概率的含义及表示.
难点： 理解古典概型的特点和概率公式.
一、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
二、古典概型
1.思考
请根据试验一、试验二的要求完成下列问题.
(1)试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成60次.
(2)试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录朝上一面出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成60次.
问题①:根据两个模拟试验的结果,完成下表.
试验材料 试验中出现的各种结果 各结果之间有何关系
试验一 质地均匀 的硬币
试验二 质地均匀 的骰子
问题②:上述试验中出现的结果有什么特点
答案:问题①:{正面向上,反面向上}　互斥　{1,2,3,4,5,6}　互斥
问题②:试验中所有可能出现的结果只有有限个;每个结果出现的可能性相等.
2.填空
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有上述两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
名师点拨 (1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
(2)在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件.
3.做一做
(1)下列试验中,是古典概型的个数为(　　)
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;
③正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
⑤在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①古典概型中,试验中出现的样本点可以是无限多. (　　)
②掷两颗骰子,计算正面向上的数字之和,则每种和值出现机会均等. (　　)
温故知新
事件A与B关系 含义 符号
事件B包含A（或称事件A包含于B） 如果事件A发生，则事件B一定发生。 B A（A B）
事件A与B相等 如果事件A发生，则事件B一定发生； 反之，也成立。 A=B
事件A与B的和事件（或并事件） 事件A与B至少有一个发生的事件 AB
事件A与B的积事件（或交事件） 事件A与B同时发生的事件 AB
事件A与B互斥 事件A与B不能同时发生 AB=φ
事件A与B互为对立事件 事件A与B不能同时发生，但必有一个发生 AB=Φ且 AB=Ω
二、探究新知
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小，对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability),事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率
的近似值，能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
思考:在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
答样本点有两个，正面朝上和正面朝下，由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
答这个试验的样本点有6个，正面出现的点数为1,2,3,4,5,6，由于质地均匀，因此样本点出现的可能性是相等的．
问题1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，每个样本点出现的可能性相等吗？
问题2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些样本点？每个样本点出现的
可能性相等吗？
彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们具有如下共同特征；
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型
思考1：
有限性；等可能性
思考2：
有限性 等可能性
问题：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
解 不是，因为有无数个样本点.
判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：
一是 有限性；
二是 等可能性
1. 考虑下面的随机事件,如何度量事件A发生的可能性大小
一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,
事件A=“抽到男生”
2.下面的随机事件,如何度量事件B发生的可能性大小
抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.
因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.因为B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},所以事件B发生的可能性大小为3/8=0.375
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
例1.单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A，B，C,D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确答案,假设考生不会做，他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少？
1.根据2020年山东省模拟高考试题中发现，在咱们的数学考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么
例2. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
例2. (2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
在上例中,为什么要把两枚骰子标上记号 如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况 你能解释其中的原因吗
如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，(1,2)和（2,1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},
且m≤n},则n(Ω1)=21.
事件A=“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)},
这时P(A)=2/21
思考:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)和（1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此P(A)=2/21,是错误的.
思考:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
求解古典概型问题的一般思路：
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）;
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
例3. 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率：
(1)A=“第一次摸到红球”；
(2)B=“第二次摸到红球”；
(3)AB=“两次都摸到红球”
同时摸出2个球则事件AB的概率是多少？
例4. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率
此例表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,在按性别等比例分层抽样时最小,在不放回简单随机抽样时次之,在有放回简单随机抽样时最大,因此,抽样方法不同,则样本空间不同,某个事件发生的概率也可能不同
上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.
上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25;用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167,可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
故所求的概率P=.
1.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为　　　　　.
4.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
注意：抽样时是有序还是无序，有放回还是无放回
参考答案：
知识梳理
3.做一做
(1)答案:B解析:只有④是古典概型.
(2)答案:①×　②×
学习过程
1. 解:班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.
因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量，显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点.
因此，事件A发生的可能性大小为18/40=0.45
2. 解:我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}.共有8个样本点,且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
例1.解：试验有选A,选B,选C,选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等,所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”，
因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1.
所以,考生随机选择一个答案,答对的概率
1.
例2.
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
例2解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号
骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果用数字m表示I号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,则数组（m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，
因此这个试验是古典概型.
(2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,从而
因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5）(6,6)},所以n(B)=6,
因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)（4,2),(4,3),（5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5)},
所以n(C)=15,
例3. 解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1,2行）,即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列）,即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),
(4,2),(5,2)},
所以
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1,2),(2,1)},所以
例4. 解:设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点
(1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}
不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1)}
按性别等比例分层抽样的样本空间
Ω3=(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1), (B2,G2)}
(2)设事件A=“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽样,A={ (B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型,因此P(A)=4/16=0.25
对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}.因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型因此P(A)=2/12=1/6≈0.167.
因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=Φ,因此P(A)=0
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1.答案:A
解析:如图:
基本事件的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件个数是10个,故所求概率
P=.故选A.
2.答案:A
解析:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根据题意,其中Ab,Ac,Bc是田忌获胜,则田忌获胜的概率为故选A.
3.答案:
解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3 m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为.
4.解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即(B1,B2),
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