《有限样本空间与随机事件》提升训练
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）
1.一个家庭有两个小孩，则样本空间为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是（ ）
A.至多抽到2件次品
B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品
D.至多抽到1件次品
3.下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①当时，；
②当时，关于x的方程在实数集内有解；
③当时，.
A.0
B.1
C.2
D.3
4.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
5.抛掷一枚骰子，落地时“向上的点数是1或2”记为事件A，“向上的点数是2或3”记为事件B，则（ ）
A.
B.
C.表示向上的点数是1或2或3
D.表示向上的点数是1或2或3
6.（多选）从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥但不是对立的两个事件是（ ）
A.“至少有一个红球”与“至少有一个白球”
B.“恰有一个红球”与“都是白球”
C.“恰有一个白球”与“都是红球”
D.“至多有一个红球”与“都是红球”
二、填空题[本大题共2小题，每小题5分，共10分）
7.从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是_____.（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）.
8.一个射手进行射击，记事件：“脱靶”，：“中靶”，：“中靶且环数大于4”，：“中靶且环数不小于5”，则在上述事件中，互斥但不对立的事件共有_____对.
三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
9.在投掷红、蓝两枚骰子的试验中，用（x,y）表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点数；
（3）写出事件“出现的点数之和大于8”包含的样本点；
（4）写出事件“出现的点数相同”包含的样本点.
10.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数”，事件B表示“向上的一面出现的数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的数不小于4”.
（1）判断事件B与C的关系，并说明理由；
（2）写出事件A与事件B的并事件，以及事件A与事件C的交事件.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：因为这两个小孩有先后顺序，所以样本空间为.
2.
答案：D
解析：“至少抽到2件次品”的对立事件为“至多抽到1件次品”，故选D.
3.
答案：D
解析：对于①，由于时，可能成立，也可能不成立，故事件①为随机事件；对于②，当时，关于x的方程在实数集内可能有解，也可能无解，故事件②为随机事件；对于③，当时，可能成立，也可能不成立，故事件③为随机事件，综上，随机事件有3个.故选D.
4.
答案：D
解析：对于A，事件“至少有一次中靶”与至多有一次中靶”都包含“只有一次中靶”这个事件，不是互斥事件；对于B，两次都中靶”与“至少有一次中靶”会同时发生，不是互斥事件；对于C，事件“只有一次中靶”是“至少有一次中靶”的一种情况，不是互斥事件；对于D，事件
“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同时发生，是互斥事件.故选D.
5.
答案：C
解析：用集合表示事件的所有可能结果，分别为，所以，故选C.
6.
答案：BC
解析：选项A：事件“至少有一个红球”包括“一个红球一个白球”和“两个红球”，事件“至少有一个白球”包括“一个白球一个红球”和“两个白球”，所以这两个事件不互斥，选项A错误；选项B：“事件恰有一个红球”是指“一个白球一个红球”，与事件“都是白球”显然互斥，因为“恰有一个红球”的对立事件是“两个白球或两个红球”，所以两个事件不对立，选项B正确；选项C：事件“恰有一个白球”是指“一个白球一个红球”，与事件都是红球”显然互斥，因为“恰有一个白球”的对立事件是“两个白球或两个红球”，所以两个事件不对立，选项C正确；选项D：事件“至多有一个红球”包括“一个红球一个白球”和“两个白球”，显然与“都是红球”是对立事件，选项D错误综上，应选BC.
二、填空题
7.
答案：必然事件
解析：从3双鞋子中，任取4只，必有两只鞋是一双，所以这个事件是必然事件.
8.
答案：2
解析：由事件：“脱靶”，：“中靶”，：“中靶且环数大于4”，：“中靶且环数不小于5”，得互斥但不对立的事件分别为与与，共2对.
三、解答题
9.
答案：见解析
解析：（1）这个试验的样本空间
.
（2）由（1）可知，这个试验的样本点数为36.
（3）事件“出现的点数之和大于8”包含的样本点为.
（4）事件“出现的点数相同”包含的样本点为.
10.
答案：见解析
解析：（1）事件，
事件，所以事件B与C既是互斥事件，又是对立事件.
（2）因为事件，
事件，
事件，所以
，.
1 / 5《有限样本空间与随机事件》基础训练
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）
1.从含有10件正品2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A.3件都是正品
B.3件都是次品
C.至少有1件次品
D.至少有1件正品
2.同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（ ）
A.
B.
C.
D.
3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“”表示试验的结果为（ ）
A.第一枚为5点，第二枚为1点
B.第一枚为5点或6点，第二枚为1点
C.第一枚为6点，第二枚为1点
D.第一枚为1点，第二枚为6点
4.把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A.对立事件
B.两个不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.两个必然事件
5.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
6.（多选）下列事件中是随机事件的是（ ）
A.连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点
B.某人买彩票中奖
C.已经有一个女儿，那么第二次生男孩
D.从集合中任取两个元素，它们的和大于4
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
7.抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”，则在上述事件中，互斥但不对立的共有_____对.
8.在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的样本点为_____.（表示B的对立事件）
三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
9.魔术师从一个装有标号为的小球的盒子中，无放回地变走两个小球，每次变走一个，先变走的小球的标号为m，后变走的小球的标号为n，这样构成有序数对（）.写出这个试验的样本空间.
10.判断下列各对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中
（1）“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
（2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生
（3）“至少有1名男生”和“全是男生”；
（4）“至少有1名男生”和“全是女生”.
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
解析：从10件正品、2件次品中，任意抽取3件，3件都是正品是随机事件，3件都是次品是不可能事件，至少有1件次品是随机事件，因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件正品是必然事件，故选D.
2.
答案：A
解析：事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”所以当事件M发生时，事件N一定发生，则有故选A.
3.
答案：C
解析：由题意得“”表示的试验结果为第一枚为6点，第二枚为1点”故选C.
4.
答案：C
解析：把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张，事件
“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥但不对立事件故选C.
5.
答案：D
解析：“至少有一个黑球”与“都是黑球”，这两个事件可能同时发生，所以A不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”这两个事件既是互斥事件又是对立事件，所以B不正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，所以C不正确；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以D正确.故选D.
6.
答案：ABCD
解析：随机事件就是在指定条件下，可能发生，也可能不发生的事件A.连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；B某人买彩票中奖，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；C已经有一个女儿，那么第二次生男孩，此事可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；D从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和可能大于4，也可能小于4，所以是随机事件.综上所述，应选ABCD.
二、填空题
7.
答案：1
解析：由题意得事件A与事件B是对立事件；事件A与事件C是互斥但不对立事件；事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件故互斥但不对立的共有1对.
8.
答案：得到的点数为2，得到的点数为4，得到的点数为5，得到的点数为6
解析：因为事件B表示“小于5的点数出现”，所以事件B表示{得到的点数为5，得到的点数为6}，又因为事件A表示“不大于4的偶数点出现”，所以{得到的点数为2，得到的点数为4，得到的点数为5，得到的点数为6}.
三、解答题
9.
答案：见解析
解析：无放回地变走两个小球，所以小球的标号不同.当时，或3；当时，或3；当时，或2.所以这个试验的样本空间.
10.
答案：见解析
解析：（1）是互斥事件，但不是对立事件.理由：所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能选出“恰有2名女生”，所以二者不对立.
（2）不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们共同含有“1名男生和1名女生”，能够同时发生，因此不互斥也不对立.
（3）不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”，这和全是男生”能同时发生，因此不互斥也不对立.
（4）是互斥事件，同时也是对立事件.理由：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件.
2 / 5《随机事件与概率》预习检测
一、选择题
1.(2019·黑龙江哈尔滨高二检测)一个不透明口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球,那么“从中任意摸一个球得到白球”这个事件是( )
A.随机事件
B.必然事件
C.不可能事件
D.不能确定
2.(2020·广东广州月考)不透明的口袋内装有红色,绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件是( )
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片不都是红色
C.2张卡片至少有一张红色
D.2张卡片至多有一张红色
3.北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的PM2.5浓度(单位:)浓度情况如表:
区域 PM2.5浓度 区域 PM2.5浓度 区域 PM2.5浓度
怀柔 27 海淀 34 平谷 40
密云 31 延庆 35 丰台 42
门头沟 32 西域 35 大兴 46
顺义 32 东城 36 开发区 46
昌平 32 石景山 37 房山 47
朝阳 34 通州 39
从上述表格中随机选择一个区域,其2018年1月份PM2.5的浓度小于的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若事件与互斥,则是必然事件
B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中,甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读,设事件“甲取到《红楼梦》”,事件“乙取到《红楼梦》”,则与是互斥但不对立事件
C.掷一枚骰子,记录其向上的点数,记事件“向上的点数不大于5”,事件“向上的点数为质数”,则
D.10个产品中有2个次品,从中抽取一个产品检查其质量,则样本空间含有2个样本点
二、填空题
5.(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是__________.
三、解答题
6.某商场举行有奖促销活动,顾客购头一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
(2)有人认为:两个箱子中的红球总数比白球总数多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗 请说明理由.
答案解析
一、选择题
1.答案:A
解析:由于不透明口袋中装的小球除颜色外,大小和形状都相同,任意摸出一个小球是白色是随机事件,故选A.
2.答案:
解析:不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,对于,事件“2张卡片都不是红色”与事件“2张卡片都为红色”是互斥而不对立的事件,故A正确;对于,事件“2张卡片不都是红色”与事件“2张卡片都为红色”是对立的事件,故B错误;对于,事件“2张卡片至少有一张红色”与事件“2张卡片都为红色”能同时发生,不是互斥事件,故错误;对于,事件“2张卡片至多有1张红色”与事件“2张卡片都为红色”是对立事件,故D错误.
3.答案:
解析:从题中表格内随机选择一个区域,共有17种情况,其中2018年1月份PM
2.5的浓度小于的地区有9个,则2018年1月份PM2.5的浓度小于的概率是.
4.答案:BCD
解析:对于,事件与互斥时,不一定是必然事件,故A不正确.对于,事件与不会同时发生,所以与是互斥事件,但除了事件与之外还有“丙取到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》”,所以与不是对立事件,故与是互斥但不对立事件,B正确.对于,事件,事件,所以包含于正确.对于,样本空间正品,次品,含有2个样本点,故D正确.
二、填空题
5.答案:
解析:将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,可得基本事件的总数为(种),点数和为5的事件为,共4种,则点数和为5的概率为.
三、解答题
6.答案:见解析
解析:(1)所有可能的摸出结果是,,.
(2)不正确
理由如下:由(1)知所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果有,,共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为,故不中奖的概率比较大.
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