强化训练：随机事件与概率
1．（2020·全国高三专题练习）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么（ ）
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
2．（2020·浙江高三专题练习）学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
3．（2019·福建高一期末）已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
4．（2019·贵州高二月考）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．恰有一个红球与恰有二个红球
D．至少有一个红球与至少有一个白球
5．（2019·北京八中高一期末）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
6．（2019·河北鹿泉区第一中学高二开学考试）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
7．（2019·黄陵中学高新部高二期末（文））一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）
A．命中环数为7、8、9、10环
B．命中环数为1、2、3、4、5、6环
C．命中环数至少为6环
D．命中环数至多为6环
8．（2019·陕西高考模拟（文））口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黑球的概率是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019·湖南高一期中）从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ）.
A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球
C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球
10．（2018·湖南省茶陵县第二中学高一单元测试）下列事件中，随机事件的个数是( )
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④向量的模不小于0.
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2019·海南高二期末）甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ）
A．0. 36 B．0. 49 C．0. 51 D．0. 75
12．（2019·安徽高一期末（理））某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是
A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件
C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件
13（2020·全国高三专题练习）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )
A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
14．（2020·全国高三专题练习）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A． B． C． D．1
15．（2020·浙江高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（ ）
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
16．（2020·全国高三专题练习）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（ ）
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
17．（2020·浙江高三专题练习）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A． B． C． D．
18．（2019·北京高一期末）如果事件A与事件B互斥，且，，则＝ ．
19．（2020·全国高三专题练习）经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:
排队人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
（1）至多有2人排队等候的概率是多少
（2）至少有3人排队等候的概率是多少
20．（2020·浙江高三专题练习）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．
21．（2020·全国高三专题练习）某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，求：
(1)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
22．（2020·北京高一期末）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．
（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？
（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．
强化训练：随机事件与概率答案
1．（2020·全国高三专题练习）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么（ ）
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.
当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的必要非充分条件.故选C.
2．（2020·浙江高三专题练习）学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案】C
【解析】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选：C
3．（2019·福建高一期末）已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
【答案】C
【解析】因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.
4．（2019·贵州高二月考）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．恰有一个红球与恰有二个红球
D．至少有一个红球与至少有一个白球
【答案】C
【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.
选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.
5．（2019·北京八中高一期末）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】D
【解析】记两个黑球为，两个红球为，则任取两球的所有等可能结果为：
，记事件A为“至少有一个黑球”，事件为：“都是红球”，
则，因为，所以事件与事件互为对立事件.
6．（2019·河北鹿泉区第一中学高二开学考试）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
【答案】D
【解析】从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件
:3件都是正品是随机事件，
：3件都是次品不可能事件,
:至少有1件次品是随机事件,
：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D .
7．（2019·黄陵中学高新部高二期末（文））一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）
A．命中环数为7、8、9、10环
B．命中环数为1、2、3、4、5、6环
C．命中环数至少为6环
D．命中环数至多为6环
【答案】C
【解析】根据对立事件的定义，可得一个射手进行一次射击，则事件：“命中环数小于6环”的对立事件是“命中环数至少是6环”，故选C.
8．（2019·陕西高考模拟（文））口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黑球的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，
摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是.
故应选C.
9．（2019·湖南高一期中）从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ）.
A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球
C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球
【答案】D
【解析】从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.
10．（2018·湖南省茶陵县第二中学高一单元测试）下列事件中，随机事件的个数是( )
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④向量的模不小于0.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选B.
11．（2019·海南高二期末）甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ）
A．0. 36 B．0. 49 C．0. 51 D．0. 75
【答案】C
【解析】乙至少赢甲—局的概率为.
故选C
12．（2019·安徽高一期末（理））某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是
A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件
C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件
【答案】D
【解析】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；
B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；
C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；
D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.
13（2020·全国高三专题练习）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )
A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
【答案】C
【解析】因为抽验一件产品只有三种结果，甲、乙、丙三级．利用对立事件的概率公式可知1-5%-3%=92%,即选择C
14．（2020·全国高三专题练习）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
15．（2020·浙江高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（ ）
A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75
【答案】D
【解析】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，
所以摸出黑球或红球的概率，故选D.
16．（2020·全国高三专题练习）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（ ）
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案】C
【解析】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.
17．（2020·浙江高三专题练习）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从装有个红球，个白球的袋中任取个球，共有基本事件种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取个球中至少有个白球的概率为，故选D.
18．（2019·北京高一期末）如果事件A与事件B互斥，且，，则＝ ．
【答案】0.5
【解析】
19．（2020·全国高三专题练习）经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:
排队人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
（1）至多有2人排队等候的概率是多少
（2）至少有3人排队等候的概率是多少
【答案】（1）0.56；（2）0.44
【解析】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2) 记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
20．（2020·浙江高三专题练习）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：
,共个，则所求事件的概率为：.
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共个，
包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共个，
所以所求事件的概率为：.
21．（2020·全国高三专题练习）某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，求：
(1)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,∴.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)= .
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖和一等奖”为事件E,则P(E)=1-P(A)-P(B)=1-.
22．（2020·北京高一期末）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．
（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？
（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．
【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）
【解析】(Ⅰ)这5人中男生人数为，女生人数为．
(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，
则样本空间为：
Ω＝{ (B1，B2)， (B1，B3)， (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，B3)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)， (G1，G2)}，
样本空间中，共包含10个样本点．
设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，
则A＝{ (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)}，
事件A共包含6个样本点． 从而
所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．《随机事件与概率》链接高考
一、选择题
1.(2018全国卷III)若某群体中的成员只用现金支付的概率为,剆用现金支付也用非现金支付的概率为,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.
2.(2019全国卷III)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )
A.
B.
C.
D.
3.(2019安徽安庆期中)从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件,设事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,则事件“抽到次品(一等品、二等品、三等品都属于合格品”的概率为( )
A.0.7
B.0.65
C.0.3
D.
4.某小组有5名男生和4名女生,从中任选4名学生参加教师节演讲比赛,则下列每对事件是对立事件的是( )
A.“恰有2名男生”与“恰有4名男生”
B.“至少有3名男生”与“全是男生”
C.“至少有1名男生”与“全是女生”
D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”
二、填空题
5.(2019安徽合肥期中)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察向上的点数.设分别是将此枚骰子先后抛掷两次向上的点数,则式子成立的概率为( )
三、解答题
6.(2019福建厦门检测)从一批苹果中,随机抽取50个作为样本,其质量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(质量)
频数(个) 5 10 20 15
(1)根据频数分布表计算苹果的质量在内的频率;
(2)用分层随机抽样的方法从质量在和内的苹果中共抽取4个,其中质量在内的有几个
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求质量在,和中各有1个的概率.
答案解析
一、选择题
1.答案
解析:设“只用现金支付”为事件,“既用现金支付也用非现金支付”为事件,“不用现金支付”为事件,则.4.
2.答案:
解析:将两位男同学分别记为,两位女同学分别记为,则四位同学排成一列,情况有,,,,,共有24种,其中两位女同学相邻的有12种,所以所求概率.
3.答案:
解析:设“抽到次品”为事件,由题意知事件彼此互斥,且每次试验必有中的一个事件发生,,所以.
4.答案:
解析:在所选的4名学生中,“恰有2名男生”的实质是选出“2名男生和2名女生”，它与“恰有4名男生”不可能同时发生.所以选项是互斥事件,但不是对立事件.“至少有3名男生”包括“3名男生,1名女生”和“4名男生”两种结果,这与“全是男生”可能同时发生,所以选项不是对立事件.“至少有1名男生”包括“1名男生,3名女生”“2名男生,2名女生”“3名男生,1名女生”和“4名男生”四种结果,这与“全是女生”不可能同时发生,且其中必有一个发生.所以选项是对立事件.“至少有1名女生”包括“3名男生,1名生”四种结果,与“至少有1名男生”可能同时发生.所以D选项不是对立事件.
二、填空题
5.答案:
解析:样本点共有(个),因为,所以,所以向上的点数相等,而事件“向上的点数相等”包含的样本点为:,所以式子成立的概率为.
三、解答题
6.答案:(1)苹果的质量在内的频率为.
(2)质量在和内的苹果共有20个,从中抽取4个,其中质量在内的有(个).
(3)把从质量在中抽取的苹果记为,从质量在中抽取的苹果记为.从抽出的4个苹果中,任取2个的所有可能的结果为,,共6种.质量在和中各有1个的可能结果有共3种,故所求概率为.
1 / 4
