第二章 §2.1 2.1.1倾斜角与斜率 课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
2.1.1　倾斜角与斜率
第二章　§2.1　直线的倾斜角与斜率
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
学习目标
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝ 若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、直线的倾斜角
二、直线的斜率
三、倾斜角和斜率的应用
内容索引
一、直线的倾斜角
问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
问题2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .
注意点：
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.
(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
正向
0°
知识梳理
例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
√
解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.
D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误.
√
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为
A.α＋45° B.α－135°
C.135°－α D.α－45°
√
√
解析　根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知，
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
反思感悟　直线倾斜角的概念和范围
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
跟踪训练1　(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 .
解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
60°或120°
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 .
解析　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，
所以α2＝120°＋α1＝135°.
135°
二、直线的斜率
问题3　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
1.把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .
2.直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量
的坐标为(x，y)，则k＝ .
正切值
tan α
知识梳理
注意点：
(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
例2　(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
①A(2,3)，B(4,5)；
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝45°.
②C(－2,3)，D(2，－1)；
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝135°.
③P(－3,1)，Q(－3,10).
解　不存在.因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.
解　当a＝3时，斜率不存在；
反思感悟　求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.
跟踪训练2　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 .
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 .
1
解析　设直线l的斜率为k，
三、倾斜角和斜率的应用
问题4　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？
提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0 ______ 不存在 _____
k的增减性 随α的增大而_____ 随α的增大而_____
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
k>0
k<0
知识梳理
增大
增大
例3　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解　由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟　倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
跟踪训练3　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
解　如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式.
2.方法归纳：数形结合思想.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)下列说法正确的是
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
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√
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2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于
A.2 B.1 C.－1 D.－2
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3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为
√
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4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 .
(其中m≥1)
0°<α≤90°
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解析　当m＝1时，倾斜角α＝90°；
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
课时对点练
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)
√
解析　D项，因为x1＝x2＝－2，
所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
基础巩固
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2.(多选)已知直线斜率的绝对值为 则直线的倾斜角可以为
A.30° B.60° C.120° D.150°
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故直线的倾斜角为60°或120°.
A.60° B.30°
C.120° D.150°
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∴θ＝30°.
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5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2
C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1
√
解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，
所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，
即k1＜0，k2＞k3＞0.
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6.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是
√
解析　如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；
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故直线l的斜率的取值范围是[0,2].
7.已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为 .
(3,0)或(0,3)
解析　由题意知，kPA＝－1，
若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)，
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解得m＝3，即P(3,0).
若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，
解得n＝3，即P(0,3).综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3).
8.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 .
(－2,1)
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因为直线的倾斜角为钝角，
解得－29.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
解　若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k＝0，
∴m＝1.
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(2)直线l与y轴平行？
解　若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
(4)直线的倾斜角为45°？
解　由题意可知，直线l的斜率k＝1，
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1).
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(5)直线的倾斜角为锐角？
解　由题意可知，直线l的斜率k>0，
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解得－110.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
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解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
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因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
解析　设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A ′(a－2，b＋2)，
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综合运用
12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是
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∵直线l与线段AB始终没有交点，
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
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14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一
象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为 .
解析　设直线AB与x轴的交点为C，(图略)
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，
或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
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15.直线l的方向向量为(－1,2)，直线l的倾斜角为α，则tan 2α的值是
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拓广探究
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解析　∵直线l的方向向量为m＝(－1,2)，
∴直线l的斜率等于－2，
因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，
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