第二章 §2.2 2.2.2直线的两点式方程 课件（共53张PPT）

(共53张PPT)
2.2.2　直线的两点式方程
第二章　 §2.2　直线的方程
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.
2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
学习目标
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、直线的两点式方程
二、直线的截距式方程
内容索引
一、直线的两点式方程
问题1　我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程_________
，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 .
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示.
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关.
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等.
两点式
知识梳理
例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：
(1)求BC边所在的直线方程；
解　BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
即2x＋5y＋10＝0，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解　设BC的中点为M(a，b)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
延伸探究
若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程.
即10x－4y－37＝0.
反思感悟　利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.
若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
跟踪训练1　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为_____________.
解析　因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
4x＋5y＋3＝0
化简得4x＋5y＋3＝0.
解　由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程.
即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
问题2　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
我们把方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线 ，此时直线在y轴上的截距是 .
在x轴上的截距
b
知识梳理
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.
(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.
(4)过原点的直线的横、纵截距都为零.
例2　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
解得a＝－1.
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，
即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，
即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究
1.若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)，
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2.若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
反思感悟　截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式方程的逆向应用.
两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0. ①
②
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
1.知识清单：
(1)直线的两点式方程.
(2)直线的截距式方程.
2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.
课堂小结
随堂演练
1.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是
√
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2.过(1,2)，(5,3)的直线方程是
√
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解析　∵所求直线过点(1,2)，(5,3)，
3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_______________
____________.
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2x－y＝0或
x－y＋1＝0
解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为______________.
2x－y＋1＝0
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解析　AB的中点坐标为(1,3)，
即2x－y＋1＝0.
课时对点练
1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为
A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2 D.y＝－x－2
√
基础巩固
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整理得y＝x＋3.
2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是
A.1 B.－1
C.－2或－1 D.－2或1
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∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
√
解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，
且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.
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4.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为
A.2 B.－3
C.－27 D.27
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即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.
5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0
C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0
√
解析　由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，
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即2x＋y－8＝0.
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√
解析　依题意知，a＝2，P(0,5).
设A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)，
所以A(4,8)，B(－4,2)，
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7.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.
3x＋y－6＝0
解析　由题意知直线过点(2,0)，
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整理得3x＋y－6＝0.
8.若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____.
－2
即x＋y－1＝0.
又点P(3，m)在直线AB上，
所以3＋m－1＝0，得m＝－2.
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解得a＝2或a＝1，
9.求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.
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10.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
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解　由截距式，得边AC所在直线的方程为
即x＋y－4＝0.
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
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解　由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
即2x－y＋10＝0.
11.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
A.x＋y＝5 B.x－y＝5
C.x－4y＝0 D.x＋4y＝0
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综合运用
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即x－4y＝0；
把(4,1)代入，解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5.
综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0.
12.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为
A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0
C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0
√
解析　由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，
则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，
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于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足.
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√
14.已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为_______________________.
解析　若l在坐标轴上的截距均为0，
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3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，
所以l的方程为x＋2y－8＝0.
综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____.
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拓广探究
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16.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程.
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解　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
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∴a＝±6，
∴直线l的方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，
∴a＝±6，
∴直线的方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
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