第二章 §2.2 2.2.3直线的一般式方程 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
2.2.3　直线的一般式方程
第二章　 §2.2　直线的方程
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示
直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
学习目标
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、直线的一般式方程
二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题
三、直线的一般式方程的应用
内容索引
一、直线的一般式方程
问题1　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？
提示　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线.
我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称一般式.
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.
③x的系数一般不为分数和负数.
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
Ax＋By＋C＝0
一般式方程
知识梳理
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
即2x＋y－3＝0.
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴.
即x＋3y＋3＝0.
解　y－2＝0.
反思感悟　求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
跟踪训练1　(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________.
x＋2y＋4＝0
2x－y－3＝0
x＋y－1＝0
(2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是
A.x－2y＋4＝0 B.x＋2y－4＝0
C.x－2y－4＝0 D.x＋2y＋4＝0
√
解析　直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，
二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题
例2　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
又∵l′过点(－1,3)，
即3x＋4y－9＝0.
方法二　由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)过点(－1,3)，且与l垂直.
解　方法一　∵l′与l垂直，
即4x－3y＋13＝0.
方法二　由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
反思感悟　(1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).
①l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
②l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
(2)过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程.
②可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
跟踪训练2　判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
解　方法一　将两直线方程各化为斜截式：
∵k1＝k2，且b1≠b2，
∴l1∥l2.
方法二　∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，
∴l1∥l2.
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
解　方法一　将两直线方程各化为斜截式：
l2：y＝－2x＋2.
∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.
方法二　∵3×2＋(－6)×1＝0，
∴l1⊥l2.
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
解　∵l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，∴l1∥l2.
解　由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
三、直线的一般式方程的应用
例3　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
解　由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.
由直线l化为斜截式方程
得m＝－2或m＝－1(舍去).
∴m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值.
解　∵直线l与y轴平行，
反思感悟　含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
跟踪训练3　(1)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为____.
解析　直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0得y＝3，
令y＝0得x＝4，
6
(2)已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标.
解　整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以直线l经过定点M(1，－1).
1.知识清单：
(1)直线的一般式方程.
(2)直线五种形式方程的互化.
(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直.
2.方法归纳：分类讨论法、化归转化.
3.常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况.
课堂小结
随堂演练
√
1
2
3
4
1
2
3
4
A.30° B.60° C.150° D.120°
√
所以倾斜角为150°，故选C.
3.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________.
1
2
3
4
(－2,1)
解析　直线l：kx－y＋1＋2k＝0，
即k(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
∴当x＋2＝0，－y＋1＝0时过定点，
∴x＝－2，y＝1，
∴该直线过定点(－2,1).
4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是____.
3
1
2
3
4
课时对点练
1.过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为
A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0
C.y－2＝－2(x－1) D.2x＋y－5＝0
√
解析　根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，
即2x＋y－5＝0.
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为
A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
3.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错；
B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错；
C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故正确；
D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为
A.－1或2 B.0或2
C.2 D.－1
√
解析　由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.
当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；
当a＝－1时，l1∥l2.
∴a＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是
A.－1 B.1 C.2 D.5
√
解析　直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，
而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，
只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，
所以a≠±1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
7.斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为____________.
2x－y＋1＝0
解析　由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线
在y轴上的截距为________.
解析　把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
解　当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解　将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∵l不经过第二象限，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1].
10.已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x，1).
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴B点坐标为(5,1).
同理可求出C点的坐标是(－3，－1).
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
12.如果直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，那么a，b的值分别为
√
解析　∵直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为
A.－2 B.－4 C.10 D.8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
14.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为_____________________________.
解析　由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为______________.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x＋4y－14＝0
解析　过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略).
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，MH＝OA＝2，
∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　集合A，B分别为xOy平面上的点集.
集合A表示l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，
集合B表示l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
①当a＝1时，B＝ ，A∩B＝ ；
②当a＝－1时，集合A表示直线y＝3(x≠2)，
③由l1可知(2,3) A，当(2,3)∈B，即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0时，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16