第二章 §2.3 2.3.1两条直线的交点坐标 课件（共58张PPT）

(共58张PPT)
2.3.1　两条直线的交点坐标
第二章　 §2.3　直线的交点坐标与距离公式
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
学习目标
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等.
导语
随堂演练
课时对点练
一、求相交直线的交点坐标
二、判断两直线位置关系的方法
三、直线系过定点问题
内容索引
一、求相交直线的交点坐标
提示　直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.
问题1　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线 上，也在直线 上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋
C2＝0，即点P的坐标就是方程组 的解.
l1
l2
知识梳理
例1　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
即l1与l2的交点坐标为(－2,2).
∵直线过坐标原点，
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
方法二　∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
反思感悟　求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解.
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.
跟踪训练1　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
即4x＋3y－6＝0.
方法二　∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵l与l3垂直，
∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
二、判断两直线位置关系的方法
一组 无数组 _____
直线l1与l2的公共点的个数 一个 _______ 零个
直线l1与l2的位置关系 _____ 重合 _____
无解
无数个
知识梳理
相交
平行
注意点：
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
例2　(教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标.
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
①
②
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
反思感悟　判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
跟踪训练2　已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象
限，则a的取值范围是__________.
三、直线系过定点问题
问题2　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4,1)，怎么表示出经过M点的直线方程？
提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4.
1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
知识梳理
例3　无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标.
解　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴点P的坐标为(7,3).
反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定
点，其定点可由方程组 解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)
的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).
跟踪训练3　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限.
证明　将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
所以无论a为何值，直线总经过第一象限.
1.知识清单：
(1)两条直线的交点.
(2)直线系过定点问题.
2.方法归纳：消元法、直线系法.
3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊.
课堂小结
随堂演练
1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为
A.(3,2) B.(2,3)
C.(－2，－3) D.(－3，－2)
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2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点
A.(－3，－1) B.(－2，－1)
C.(－3,1) D.(－2,1)
√
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解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
∴直线l恒过定点(－3,1).故选C.
3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________.
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2x＋y－4＝0
解析　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝_____.
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又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，
课时对点练
1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为
A.(－4，－3) B.(4,3)
C.(－4,3) D.(3,4)
√
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2.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为
A.12 B.10 C.－8 D.－6
√
解析　∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1).
∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，
将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，
∴m＋n＝10.
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3.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.3x＋19y＝0 D.19x－3y＝0
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即3x＋19y＝0.
4.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是
A.－24 B.6 C.±6 D.24
√
解析　因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，
所以设交点为(0，b)，
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5.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点
√
解析　由a＋2b＝1，得a＝1－2b，
则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，
整理得x＋3y－b(2x－1)＝0，
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6.若直线l：y＝kx－ 与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是
A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°}
C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}
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解析　由题可知k≠－1，
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∵两直线的交点在第一象限，
∴30°<θ<90°.
7.过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为__________.
3x＋y＝0
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则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)，
即3x＋y＝0.
8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝______.
－2
解析　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.
又点(1，m)在直线上，
所以a＋2m－1＝0，
所以m＝－2.
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9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
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即27x＋54y＋37＝0.
10.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围.
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∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
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11.已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是______.
解析　由直线ax＋y＋a＋2＝0，
得a(x＋1)＋(y＋2)＝0，
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综合运用
y＝2x
∴直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过定点(－1，－2)，
12.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________.
解析　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
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x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
13.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝___.
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代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2.
14.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________________.
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(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，
a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交于点C，
由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，
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当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，
综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞).
15.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为
√
拓广探究
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解析　设B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x，y)，
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又B′在直线AC上，
16.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.
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解　设B(x0，y0)，
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即B(6,4).
同理可求得C点的坐标为(5,0).
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即4x－y－20＝0.