第二章 §2.3 2.3.2两点间的距离公式 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
2.3.2　两点间的距离公式
第二章　 §2.3　直线的交点坐标与距离公式
1.掌握两点间的距离公式并会应用.
2.会用坐标法证明简单的平面几何问题.
学习目标
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
导语
随堂演练
课时对点练
一、两点之间的距离公式
二、坐标法的应用
内容索引
一、两点之间的距离公式
问题1　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示　|AB|＝|xA－xB|.
问题2　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？
提示　(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|；
(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
1.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 .
知识梳理
注意点：
(1)此公式与两点的先后顺序无关.
例1　已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴kAC·kAB＝－1，
∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
反思感悟　计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
跟踪训练1　若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________.
解析　由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.
设点M的坐标为(xM，±10).
(2,10)或(－10,10)
解得xM＝－10或xM＝2，
所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10).
二、坐标法的应用
例2　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.
设A(0,0)，B(c，0)，C(m，n)，
则|AB|＝|c|.
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
反思感悟　(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系，用坐标表示有关的量.
②进行有关代数运算.
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
跟踪训练2　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
证明　如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c).
故|AC|＝|BD|.
1.知识清单：两点间的距离公式.
2.方法归纳：待定系数法、坐标法.
3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解.
课堂小结
随堂演练
1.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是
√
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2.已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于
√
1
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3.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于
√
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解析　∵P(1,1)，Q(5,5)，
4.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为______.
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解析　BC的中点坐标为(0,1)，
课时对点练
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基础巩固
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解析　由两点间距离公式得
2.已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是
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3.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是
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4.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为
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5.(多选)对于 下列说法正确的是
A.可看作点(x，0)与点(1,2)的距离
B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C.可看作点(x，0)与点(－1,2)的距离
D.可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
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√
可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确.
6.已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是
√
解析　∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
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7.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________.
1或－5
解析　由两点间距离公式得
(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，
所以(a＋2)2＝32，
所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.
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8.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为____________.
(10,0)或(0,0)
解析　设Q(x0,0)，则有
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9.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为
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10.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.
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解　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＋1＝k(x－1)，
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即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意.
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
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11.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不是
√
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综合运用
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形.故选C.
12.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于 的点的坐标是
A.(－4,5) B.(－3,4) C.(－1,2) D.(0,1)
√
解析　设所求点的坐标为(x0，y0)，有
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13.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝_____.
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解析　设A(a，0)，B(0，b)，
解析　以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a，0)，B(0,4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，
所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，
|PC|2＝a2＋b2，
于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，
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拓广探究
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16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－ |AC|2＝2|BD|2.
证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系.
设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0).
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＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，