第二章 §2.3 2.3.3点到直线的距离公式 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
2.3.3　点到直线的距离公式
第二章　 §2.3　直线的交点坐标与距离公式
1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展
数学运算与逻辑推理素养.
2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.
学习目标
距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、点到直线距离公式的推导
二、点到直线距离公式的简单应用
三、点到直线距离公式的综合应用
内容索引
一、点到直线距离公式的推导
问题1　如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，
问题2　上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？
提示　推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间的距离公式化简复杂.
问题3　向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量.
距离公式：d＝ .
知识梳理
注意点：
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
二、点到直线距离公式的简单应用
例1　(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为______.
解析　由点到直线的距离公式得
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，
则实数m的值等于________.
∴|3m＋5|＝|m－7|，
∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，
反思感悟　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可.
√
√
三、点到直线距离公式的综合应用
例2　已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
解　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.
故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
延伸探究　求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解　设原点为O，连接OP(图略)，
易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，
反思感悟　解决有限条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的.
跟踪训练2　已知直线l过点M(－1,2)，且点A(2,3)，B(－4,5)到l的距离相等，求直线l的方程.
解　方法一　当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，
此时点A(2,3)与点B(－4,5)到直线l的距离相等，
故x＝－1满足题意；
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，
即x＋3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二　由题意得l∥AB或l过线段AB的中点.
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
1.知识清单：
(1) 点到直线的距离公式的推导过程；
课堂小结
(3) 公式的应用.
2.方法归纳：公式法、数形结合.
3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在.
随堂演练
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为
√
1
2
3
4
2.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于
√
1
2
3
4
√
3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是
√
1
2
3
4
解析　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，
4.已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为________________________.
x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
1
2
3
4
解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
课时对点练
1.点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是
√
解析　点P(1，－1)到直线l的距离
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为
√
解析　直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是
√
解析　|OP|最小即OP⊥l，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
6.(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为
A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0
C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0
√
解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为_________________
_____________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由直线与原点的距离为5，
所以b＝±10.
8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为____.
2
解析　设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
9.已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即x－2y＋3＝0.
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
即△ABC的面积为4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0，
即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
整理得7k2－6k－1＝0，
所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0.
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，
设直线的方程为x＋y＝a，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得a＝6或a＝2，
所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
11.(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为 则点P的坐标为
A.(1,2) B.(3，－4)
C.(2，－1) D.(4，－3)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
√
解析　设点P的坐标为(a，5－3a)，
解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1).
12.当点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为
A.3，－3 B.5,2
C.5,1 D.7,1
√
解析　直线l恒过点A(－3,3)，
根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
故所求点的坐标为(5，－3).
14.已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(－12,0)或(8,0)
解得a＝－12或8，
所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0).
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
16.已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即m与n的交点为(－21，－9).
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
解　设原点O到直线m的距离为d，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16