第二章 §2.3 2.3.4两条平行直线间的距离 课件（共53张PPT）

(共53张PPT)
2.3.4　两条平行直线间的距离
第二章　 §2.3　直线的交点坐标与距离公式
1.理解两条平行线间的距离公式的推导.
2.会求两条平行直线间的距离.
学习目标
前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的.
导语
随堂演练
课时对点练
一、两条平行直线间的距离
二、由平行直线间的距离求参数
三、平行直线间的距离的最值问题
内容索引
一、两条平行直线间的距离
问题1　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
问题2　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
1.两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的 的长.
2.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不
同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝ .
公垂线段
知识梳理
注意点：
(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.
(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
例1　(1)(教材P78例7改编)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离.
(2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为
√
解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，
反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平
行直线间的距离d＝
跟踪训练1　已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是
√
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
二、由平行直线间的距离求参数
例2　已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是_____________.
2x－y＋1＝0
解析　方法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二　由题意知l必介于l1与l2中间，
故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟　由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题.
跟踪训练2　(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为
则实数c的值为
A.9 B.－9 C.11 D.－11
√
√
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
解　如图，显然有0(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解　由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟　应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
跟踪训练3　已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________.
解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.
因为A(1,1)，B(0，－1).
x＋2y－3＝0
即x＋2y－3＝0.
1.知识清单：
(1)两条平行线间的距离.
(2)两条平行线间的距离最值问题.
2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法.
3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
课堂小结
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
√
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2.两条直线y＝ 6x－4y＋13＝0之间的距离为
√
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解析　两条直线的方程分别为
3.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为
√
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解析　易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，
故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离，
4.两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为
A.0或40 B.10或30
C.－20或10 D.－20或40
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√
即|20－c|＝10，
解得c＝10或c＝30.
课时对点练
√
基础巩固
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2.两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是
√
解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
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3.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是
√
解析　因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，
所以3∶2＝6∶m，所以m＝4.
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A.2x＋y－1＝0 B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0 D. 2x＋y＋2＝0
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所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
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解得m＝7或m＝－13，
所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
6.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为
√
解析　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
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7.与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为______________________.
x＋y＝0或x＋y－10＝0
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设所求直线为l4，则l4∥l3，
解得c＝0或－10，
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
解析　∵直线l1：y＝kx＋1经过定点(0,1)，
又两直线关于点(2,3)对称，
则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称，
∴直线l2恒过定点(4,5)，
∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，
8.若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2,3)对称，则直线l2恒过定点______，l1与l2的距离的最大值是_____.
(4,5)
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9.(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
解　设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.
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解得m＝3或－7，
所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
解得c＝9或c＝－3，
所以所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
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10.设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.
(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
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解　若l1∥l2，则m≠0，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程.
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直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
11.已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为
√
解析　∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
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综合运用
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
12.(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为
A.1 B.3 C.5 D.7
√
所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5].
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13.直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是
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解析　根据题意画出图象，如图所示，
根据图象可得当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2之间的距离为|MN|；
当l1∥l2，但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时，过M点向l2引垂线，垂足为P，
则l1与l2之间的距离为|MP|；
因为|MN|>|MP|，
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即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，
则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
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15°或75°
拓广探究
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15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为___________.
x＋y－3＝0
解析　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b，0)，C(0，b).
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梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
所以b2＝9，b＝±3.
又b>1，所以b＝3.
所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
16.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是
(1)求a的值；
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∵a>0，∴a＝3.
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解　设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
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若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，
∴3x0＋2＝0不符合题意.
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