第二章 §2.4 2.4.1圆的标准方程 课件（共57张PPT）

(共57张PPT)
2.4.1　圆的标准方程
第二章　 §2.4　圆的方程
1.掌握圆的定义及标准方程.
2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.
学习目标
《古朗月行》
唐 李白
小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
导语
随堂演练
课时对点练
一、圆的标准方程
二、点与圆的位置关系
三、待定系数法求圆的标准方程
内容索引
一、圆的标准方程
问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示　设圆上任一点M(x，y)，
则|MA|＝r，由两点间的距离公式，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
知识梳理
x2＋y2＝r2
注意点：
(1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆.
(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.
(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.
例1　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为___________________.
解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________
___________.
解析　∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
(x－1)2＋
(y－2)2＝25
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
跟踪训练1　求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
解　r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).
解　设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
问题3　点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？
提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆外 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
点在圆上 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
点在圆内 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
>
>
知识梳理
＝
＝
<
<
例2　(1)已知a，b是方程x2－x－ ＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
√
∴点P在圆C内.
(2)已知点P(2,1)和圆C： ＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝
_________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_______________.
－2或－6
a<－6或a>－2
解得a＝－2或－6.
解得a<－6或a>－2.
反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
[0,1)
三、待定系数法求圆的标准方程
例3　求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解　方法一　(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二　(几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
即圆心坐标为(4，－3)，
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
反思感悟　待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
跟踪训练3　过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
√
所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x.
所以圆心坐标为(1,1)，半径为2，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二　本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D；
根据点B(－1,1)在圆上，排除A.
1.知识清单：
(1)圆的标准方程.
(2)点和圆的位置关系.
2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.
3.常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况.
课堂小结
随堂演练
1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为
A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
√
1
2
3
4
解析　以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
√
1
2
3
4
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是
A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1
√
1
2
3
4
解析　方法一　(直接法)
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二　(数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
4.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为
_______________.
1
2
3
4
解析　∵P在圆外，
∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，
课时对点练
√
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是
A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100
√
所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在
A.圆内 B.圆外
C.圆上 D.圆上或圆外
√
解析　由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M的圆心为(－4,3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的线段长为6
√
解析　由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，
故圆心为(4，－3)，半径为5，则AC正确；
令x＝0，得y＝0或y＝－6，线段长为6，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
6.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为
A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D.(x－2)2＋(y－2)2＝1
√
解析　在圆C2上任取一点(x，y)，
则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上，
所以(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1，
即(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为________________.
(x－1)2＋y2＝18
解析　圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x－1)2＋y2＝18.
8.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.
解析　圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；
解　∵点M(6,9)在圆N上，
∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.
解　由已知，得圆心N(5,6).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
10.已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即x－3y＋3＝0，
由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二　待定系数法
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
11.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为
A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20
C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20
√
解析　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.
以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
√
12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
13.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________.
(x－4)2＋y2＝1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
14.已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为_____.
解析　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，
∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.
∵y∈[－1,1]，
∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
－4
15.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为
A.4 B.5 C.6 D.7
所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号.
√
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，
16.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　设圆心为(a，b)，半径长为r，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
消去r，得2b2－a2＝1， ①
设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，
整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1，
当k＝1时，a＝b＝－1，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16