第二章 §2.4 2.4.2圆的一般方程 课件（共61张PPT）

(共61张PPT)
2.4.2　圆的一般方程
第二章　 §2.4　圆的方程
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标
和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
学习目标
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.
导语
随堂演练
课时对点练
一、圆的一般方程的辨析
二、求圆的一般方程
三、圆的轨迹问题
内容索引
一、圆的一般方程的辨析
问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.
问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
D2＋E2－4F>0
表示以 为圆心，以 为半径的圆
1.圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________
称为圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＝0
知识梳理
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；
解　由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
(2)写出圆心坐标和半径.
解　将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
反思感悟　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
跟踪训练1　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标
和半径分别为________________.
解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
9π
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
解　设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解　由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
反思感悟　求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
即D＋E＝－2. ①
∴D2＋E2＝20. ②
又∵圆心在第二象限，
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
三、圆的轨迹问题
问题3　轨迹和轨迹方程有什么区别？
提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.
例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
解　设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式，得点P的坐标为(2x－2,2y).
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解　设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
延伸探究
1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
解　设T(x，y).
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1.
整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上.
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2.本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
解　设点E(x，y)，P(x0，y0).
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
反思感悟　求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
跟踪训练3　已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
1.知识清单：
(1)圆的一般方程.
(2)求动点的轨迹方程.
2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.
3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.
课堂小结
随堂演练
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是
√
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解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为
A.4，－6 B.－4，－6
C.－4,6 D.4,6
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又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，
∴D＝4，E＝－6.
3.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y＝0对称
C.关于直线x＋3y－2＝0对称
D.关于直线x－y＋2＝0对称
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√
解析　x2＋y2－4x－1＝0 (x－2)2＋y2＝5，
即圆心的坐标为(2,0).
A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故正确；
B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确；
C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确；
D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确.
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4.已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是____________________.
(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
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解析　设C(x，y)(y≠0)，
∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
即(x－8)2＋y2＝36(y≠0).
课时对点练
√
解析　根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，
基础巩固
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2.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为
√
解析　圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，
即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a，0)，可得a＝－5，
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3.(多选)下列结论正确的是
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外， ＋Dx0＋Ey0＋F>0
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解析　AB显然正确；
C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，
所以表示点(1，－2)；
D正确.
4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是
A.点 B.直线
C.线段 D.圆
√
解析　∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.
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5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
√
解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1).
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
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∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
6.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于
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所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，
7.过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为__________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
解析　设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
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故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
x2＋y2－4x－5＝0
解析　设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)，
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解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆.
(1)求t的取值范围；
解　圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
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(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
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(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
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解　设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，
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于是有x0＝8－x ，y0＝6－y. ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
11.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为
A.0 B.1 C.2 D.3
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综合运用
又两圆关于直线x－y－1＝0对称，
12.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为
A.8π B.4π
C.2π D.π
√
解析　原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
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13.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_____.
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解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
14.设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是_____________.
解析　圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，
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3x－2y－3＝0
即3x－2y－3＝0.
15.已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为
A.7 B.8 C.9 D.10
√
拓广探究
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解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，
所以圆心为M(1,5)，半径为1.
如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，
此时|SP|＋|SQ|的值最小，
否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，
所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.
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16.在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动.
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
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解　设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0,2y)，
整理得x2＋y2＝1，
∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1.
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标.
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解　由已知设A1(－1,0)，A2(1,0)，
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