第二章 §2.5 2.5.1 第1课时　直线与圆的位置关系 课件（共61张PPT）

(共61张PPT)
第1课时　直线与圆的位置关系
第二章　 2.5.1　直线与圆的位置关系
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
学习目标
海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.
导语
随堂演练
课时对点练
一、直线与圆的位置关系的判断
二、圆的弦长问题
三、求圆的切线方程
内容索引
一、直线与圆的位置关系的判断
问题1　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判 断方法 ____ _____ ____
代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ ____ _____ ____
2
1
知识梳理
0
dd＝r
d>r
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4).
方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1　(1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
√
解析　将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内.
∴过点P的直线l必与圆C相交.
(2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是
A.(0,2] B.(1,2]
C.(0,2) D.(1,2)
√
∴m<2，∵m>0，∴0二、圆的弦长问题
求直线与圆相交时弦长的两种方法：
(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心
距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
反思感悟　(1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式.
(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况.
跟踪训练2　已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.
(1)求直线l的方程；
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为kl，
∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1，
∵直线l过点(2,1)，
∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
解　设圆的半径为r，依题意，得
∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
三、求圆的切线方程
例3　(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.6
√
解析　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_____________________.
y＝4或3x＋4y－13＝0
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟　求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上.
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为
由点斜式可得切线方程.
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外.
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
③过圆外一点的切线有两条.
跟踪训练3　(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为
A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
√
解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为
解析　圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离
√
1.知识清单：
(1)直线与圆的三种位置关系.
(2)弦长公式.
(3)圆的切线方程.
2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.
3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
课堂小结
随堂演练
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
√
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∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.
∴点P在圆上.∴P为切点.
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3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是
A.－2 B.－12
C.2 D.12
√
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√
解析　圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
得b＝2或12.
4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为___.
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课时对点练
1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
√
所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心.
基础巩固
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2.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
√
解析　∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.
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则直线与圆的位置关系是相交.
√
解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.
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√
所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.
解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0)，
4.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为
A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0
C.2x－y＝0 D.x－1＝0
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6.一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为
√
解析　点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)，
圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1.
设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，
则切线方程为y＝k(x＋2)－3，即kx－y＋2k－3＝0，
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7.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________.
x－y＋5＝0
解析　由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)，
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所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
8.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.
解析　由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
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9.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
解　圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；
当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，
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所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
解　当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
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10.已知圆C过点(1,1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切.
(1)求圆C的标准方程；
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解　由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a>0)，
解得a＝－6(舍)或a＝2，
则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.
(2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程.
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若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y－k＋3＝0.
11.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为
A.x2＋y2－2y＝2 B.x2＋y2＋2y＝2
C.x2＋y2－2y＝1 D.x2＋y2＋2y＝1
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综合运用
解析　在直线mx＋y＋1＝0的方程中，
令x＝0，则y＝－1，
则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1).
由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，
则点(0，－1)是圆C的圆心，
又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，
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因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.
A.4x＋3y－13＝0 B.3x＋4y－15＝0
C.3x＋4y＋15＝0 D.x＝1
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解析　由题意知圆心C的坐标为(2,0)，半径为r＝2，
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当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y－k＋3＝0，
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即4x＋3y－13＝0.
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解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1,2)，半径为r＝2，直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，
所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.
又m>0，n>0，
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14.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________.
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设点F为其圆心，坐标为(1,3).
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拓广探究
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故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.
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16.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为
(1)求圆C的方程；
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∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.
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解　∵P是直线x＋y＋4＝0上一点.
设P(m，－m－4)，
∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，
即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.
设圆上任一点Q(x，y)，
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即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
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∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0).