第二章 §2.5 2.5.2圆与圆的位置关系 课件（共67张PPT）

(共67张PPT)
2.5.2　圆与圆的位置关系
第二章　 §2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.了解圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.
学习目标
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
导语
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
随堂演练
课时对点练
一、两圆位置关系的判断
二、相交弦及圆系方程问题
三、圆与圆的综合性问题
内容索引
一、两圆位置关系的判断
1.代数法：设两圆的一般方程为
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 个 个 个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
2
1
0
2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d r1＋r2 d r1＋r2 |r1－r2|< d>
＝
＝
<
注意点：
(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.
例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；
解　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
(2)相交；
(3)外离；
(4)内含.
解　当3<|C1C2|<5，即3解　当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
解　当|C1C2|<3，即0反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
跟踪训练1　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是
A.4 B.6 C.16 D.36
√
解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
∵两圆有三条公切线，
∴两圆外切，
解析　到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；
同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有___条.
4
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.
二、相交弦及圆系方程问题
例2　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解　设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2).
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
反思感悟　(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
跟踪训练2　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为______________________________
____________.
(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x
＋2y－6＝0)
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1).
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法三　设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
三、圆与圆的综合性问题
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－ )的圆的方程”，如何求？
解　因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
反思感悟　通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
跟踪训练3　圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
解　因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.
又因为圆O2的圆心O2(2,1)，
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
1.知识清单：
(1)两圆的位置关系.
(2)两圆的公共弦.
(3)圆系方程.
(4)圆与圆的综合性问题.
2.方法归纳：几何法、代数法.
3.常见误区：将两圆内切和外切相混.
课堂小结
随堂演练
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是
A.外离 B.相交
C.外切 D.内切
√
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2
3
4
解析　把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，
2.(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为
A.2 B.－5 C.－2 D.5
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√
解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.
3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是
________________________________________.
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(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析　设圆C的半径为r，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6，
则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
解析　将两圆的方程相减，
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所以a＝1.
课时对点练
1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为
A.相交 B.外切
C.内切 D.外离
√
解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，
则d＝|C1C2|＝2，
所以d＝|r1－r2|，
所以两圆内切.
基础巩固
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2.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
√
解析　圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，
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3.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
√
解析　圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.
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4.已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36内切，则实数m的值为
A.0 B.－120
C.0或－120 D.5
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5.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为
√
解析　 由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
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6.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是
A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49
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√
解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.
A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.
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∴两圆相交；
B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，
∵|C2C|＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；
C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，
∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切；
D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，
∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切.
7.已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是____________.
4a2＋b2＝1
解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a，0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，
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整理得4a2＋b2＝1.
8.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为
______________________.
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9.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
解　由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，
又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，
可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.
因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，
即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
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(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
解　设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，
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故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
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解　圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1).
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
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综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.
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解　依题意，设D(a，a＋2).
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
解得a＝－1或a＝6.
∴D(－1,1)或D(6,8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
11. 设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为
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综合运用
解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上.
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
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12.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有
A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
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解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，
两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；
对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；
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解析　由题知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0，
当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，
设C1到AB的距离为d，因为△ABP为等腰直角三角形，
13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 ＋y2＝8与圆C2 : x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为____________________.
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当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，则8－a＝0，即a＝8.
14.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________.
解析　设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
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x2＋y2－3x＋y－1＝0
所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
15.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点
P到点(0,1)的距离为2，则实数a的取值范围是__________________________.
拓广探究
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解析　因为圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0，
所以(x－a)2＋(y－a)2＝1，其圆心C(a，a)，半径r＝1.
因为点P到点(0,1)的距离为2，
所以P点的轨迹为x2＋(y－1)2＝4.
因为P又在(x－a)2＋(y－a)2＝1上，
所以圆C与圆x2＋(y－1)2＝4有交点，
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(1)判断圆M与圆N的位置关系；
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所以圆M的半径
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故圆M与圆N相离.
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证明　设P(x0，y0)，
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