第三章 §3.1 3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共65张PPT）

(共65张PPT)
3.1.1　椭圆及其标准方程
第三章　 §3.1　椭　圆
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程.
学习目标
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
导语
随堂演练
课时对点练
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程
三、椭圆的定义及其应用
内容索引
一、椭圆的定义
问题1　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距.
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
(2)定值必须大于两定点的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
常数(大于|F1F2|)
两个定点
知识梳理
两焦点间的距离
一半
二、椭圆的标准方程
问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示　观察可以发现椭圆具有对称性，
而且过两焦点的直线是它的对称轴，
所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c，0)和F2(c，0).
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
对方程②两边平方，得
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
问题3　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __________________
________________
图形
焦点坐标 ___________________ __________________
a，b，c的关系 ____________ F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
知识梳理
b2＝a2－c2
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
解　因为椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
解　因为椭圆的焦点在y轴上，
由椭圆的定义知，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
反思感悟　确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
则a2b>0矛盾，舍去.
方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
三、椭圆的定义及其应用
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
延伸探究　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
反思感悟　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
跟踪训练2　设P为椭圆C： 上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为
A.24 B.12 C.8 D.6
√
|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
∵△PF1F2的重心为点G，
∴
∴△GPF1的面积为8.
1.知识清单：
(1)椭圆的定义及其应用.
(2)椭圆的标准方程.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系.
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
课堂小结
随堂演练
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
√
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解析　∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段.
解析　c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
2.已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为
√
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3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.(0，＋∞) B.(0,2)
C.(1，＋∞) D.(0,1)
√
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解析　设在BC边上的另一个焦点为F，
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√
课时对点练
1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
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基础巩固
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解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
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解析　设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
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3.已知F1，F2是椭圆 的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于
A.9 B.10 C.11 D.12
√
解析　根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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5.设P为椭圆 上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则
|PF1|·|PF2|的最大值是
A.4 B.6 C.9 D.12
√
解析　|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
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当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号.
6.P是椭圆 上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若
|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为
A.60° B.30° C.120° D.150°
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∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝60°.
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为
则此椭圆的标准方程为__________.
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所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
8.已知椭圆C： 点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1，
F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝____.
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解析　如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，
因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
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所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
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解　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
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由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，
(1)求椭圆M的标准方程；
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解　由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
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解　由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
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综合运用
解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
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解析　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，
连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，
此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2r＝8.
延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，
此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2r＝12，
即最小值和最大值分别为8,12.
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13.若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0,2)，则实数t＝______.
－1
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因为其一个焦点为F(0,2)，
解析　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
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∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
拓广探究
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解析　设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，
所以|AF1|＝6m－3m＝3m，
所以|AF1|＝|AF2|，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
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解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，
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某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
解　由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
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∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3).