第三章 §3.1 3.1.1椭圆及其标准方程 课件(共65张PPT)

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名称 第三章 §3.1 3.1.1椭圆及其标准方程 课件(共65张PPT)
格式 pptx
文件大小 2.8MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-12-01 21:47:12

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文档简介

(共65张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
第三章  §3.1 椭 圆
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程.
学习目标
椭圆是圆锥曲线的一种,具有丰富的几何性质,在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用,那么,椭圆到底有怎样的几何特征?我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程,从而为研究椭圆的几何性质奠定基础?
导语
随堂演练
课时对点练
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程
三、椭圆的定义及其应用
内容索引
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板中的两点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? 在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
提示 椭圆,笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆,这 叫做椭圆的焦点, 叫做椭圆的焦距,焦距的 称为半焦距.
注意点:
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
(2)定值必须大于两定点的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.
常数(大于|F1F2|)
两个定点
知识梳理
两焦点间的距离
一半
二、椭圆的标准方程
问题2 观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单?
提示 观察可以发现椭圆具有对称性,
而且过两焦点的直线是它的对称轴,
所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy,
如图所示,此时,椭圆的焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0).
根据椭圆的定义,设M与焦点F1,F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
对方程②两边平方,得
对方程③两边平方,得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,
整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2), ④
将方程④两边同除以a2(a2-c2),
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ,即a>c>0,
所以a2-c2>0.
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
问题3 如图,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别是(0,-c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __________________
________________
图形
焦点坐标 ___________________ __________________
a,b,c的关系 ____________ F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
知识梳理
b2=a2-c2
注意点:
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大,焦点就在谁的轴上.
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
解 因为椭圆的焦点在y轴上,
又椭圆经过点(0,2)和(1,0),
解 因为椭圆的焦点在y轴上,
由椭圆的定义知,
又c=2,所以b2=a2-c2=6,
由a>b>0,知不符合题意,故舍去;
②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为
方法二 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式.
(2)“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程(组)求解.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
则a2b>0矛盾,舍去.
方法二 (待定系数法)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.
因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16. ①
三、椭圆的定义及其应用
从而|F1F2|=2c=6,
在△F1PF2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ①
即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ②
由①②得|PF1|·|PF2|=4.
延伸探究 若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|=2c=6.
在△F1PF2中,由勾股定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,
即|PF2|2=|PF1|2+36,
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形,可以利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
跟踪训练2 设P为椭圆C: 上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为
A.24 B.12 C.8 D.6

|PF1|∶|PF2|=3∶4,|PF1|+|PF2|=2a=14,
∴|PF1|=6,|PF2|=8.
∵△PF1F2的重心为点G,

∴△GPF1的面积为8.
1.知识清单:
(1)椭圆的定义及其应用.
(2)椭圆的标准方程.
2.方法归纳:待定系数法.
3.常见误区:
(1)忽视椭圆定义中a,b,c的关系.
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
课堂小结
随堂演练
1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段

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解析 ∵|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|,
∴动点M的轨迹是线段.
解析 c=1,由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,b2=3,
2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为

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3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.(1,+∞) D.(0,1)

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解析 设在BC边上的另一个焦点为F,
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课时对点练
1.(多选)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆

基础巩固
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解析 当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;
当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;
当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.
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解析 设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),
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3.已知F1,F2是椭圆 的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于
A.9 B.10 C.11 D.12

解析 根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,
所以△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=16,
所以|AF1|+|BF1|=16-|AB|=11.
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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5.设P为椭圆 上的任意一点,F1,F2为其上、下焦点,则
|PF1|·|PF2|的最大值是
A.4 B.6 C.9 D.12

解析 |PF1|+|PF2|=2a=6,
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当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.
6.P是椭圆 上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若
|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为
A.60° B.30° C.120° D.150°

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∴(|PF1|+|PF2|)2=64,
∵|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40,
∵0°<∠F1PF2<180°,
∴∠F1PF2=60°.
7.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为
则此椭圆的标准方程为__________.
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所以b2=a2-c2=16-15=1.
又椭圆的焦点在y轴上,
8.已知椭圆C: 点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1,
F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则 |AN|+|BN|=____.
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解析 如图,取MN的中点G,G在椭圆C上,
因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,
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所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12.
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解 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,
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由|PF1|>|PF2|知,PF2垂直于焦点所在的坐标轴.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,
(1)求椭圆M的标准方程;
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解 由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
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解 由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),

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综合运用
解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),
∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3,
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解析 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆的定义知|PA|+|PB|=2a=10,
连接PA,PB,分别与左、右两圆相交于M,N两点,
此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2r=8.
延长PA,PB,分别与左、右两圆相交于M′,N′两点,
此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2r=12,
即最小值和最大值分别为8,12.
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13.若椭圆3x2-ty2=6的一个焦点为F(0,2),则实数t=______.
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因为其一个焦点为F(0,2),
解析 由椭圆的方程得a=5,b=4,c=3.
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∴|BC|+|AB|=2a=10,
拓广探究
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解析 设|BF2|=2m,则|AF2|=3m,|BF1|=4m,
由椭圆定义知|BF1|+|BF2|=|AF1|+|AF2|=6m,
所以|AF1|=6m-3m=3m,
所以|AF1|=|AF2|,
故点A为椭圆的上(下)顶点,设A(0,±b),
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解得a2=5,又由c=1,可得b=2,
16.某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,
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某种鱼群洄游的路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群,以A,B所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.
(1)求曲线C的标准方程;
解 由题意知曲线C是以A,B为焦点且2a为8的椭圆,又2c=4,
(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
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∴点P的坐标为(2,3)或(2,-3).